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Or 



fç„tp(x)dx\^( fç*dx\ ( f(p*{x)dx) < 



a a a 



2" 1 







Il s'ensuit, en vertu de (55). que 



P 

 lim / oq [x) dx = . 



X 



c'est-à-dire 

 ß 

 I <p {x) f (x) dx = "^l + nj? («, «*' + 6» & ' 



En posant, en particulier. 



q>(x)=f(x), a — 0, ß = 2n, 



nous retrouvons l'égalité (53). 



Nous pouvons maintenant énoncer ce théorème général: 



Théorème. Soient f(x) une fonction bornée et inté- 

 gral) le dans l'intervalle (0.2.t<. <p(x) une autre fonc- 

 tion pour laquelle les intégrales 



P ß P 



f f(x)f '.ri, /.,-. ! q>(x)coskxdx. ! f(x) sin kxdx, I <p 2 {x)dx. 

 a a a oc 



(i = 0,i,2 



« et ;> étant cl e u x n o m b r e s quel c o n q n e s , compris dans 

 l'intervalle (0,2n), restent finies et bien déterminées 

 Ces conditions étant remplies, on a toujours 



ftp (x) f (x) dx = - T "^l + n^ ! a k ai -f 6, /-/ , 



OÙ 



Bulletin III. 7 



