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|P(a)| == 00, also bestimmt divergent ist, ein singulärer der 

 gegebenen Potenzreihe ist. 



Schliesslich werden Potenzreihen construiert, welche auf 

 ihrem Convergenz-Kreise (r) in einer überalldichten Punct- 

 menge dasselbe Vorhalten aufweisen. 



Indem sich — nach den in der Einleitung des Aufsatzes 

 gegebenen Betrachtungen — eine Potenzreihe in einem Puncte 

 a" ihres Convergenzkreises auf 5-fache Weise verhalten kann, 

 denn sie kann einerseits unbedingt^ bedingt^ oder oscillierend 

 convergieren, andererseits aber divergieren oder schliesslich 

 unbrauchbar werden, so ist für den Verfasser die von den 

 Mathematikern bestrebte Aufgabe : 



eine Potenzreihe von solcher Beschaffenheit zu con- 

 struieren, dass sie in jedem beliebigen Puncte ihres Con- 

 vergenzkreises dasselbe Verhalten zeige 

 bis jetzt nur in zwei Fällen vollständig gelöst. 



Der erste bezieht sich auf die unbedingte, der zweite, 

 der von Fringsheim (Math. Annalen Bd. 25) erledigte Fall 

 auf die bedingte Convergenz der Potenzreihe. 



Was die übrigen drei Arten betrifft, so wird bemerkt, 

 dass das Beispiel (1 — x)i^, a < — 1, (vergl. z. B. Biermann. 

 Elemente der höheren Mathematik S. 373), welches zum Nach- 

 weise der Existenz einer Potenzreihe mit der durchgängigen 

 Divergenz auf (r) dienen soll, für ein nicht befriedigendes ge- 

 halten werden muss. Denn die Entwickelung von (1 — x)!^ 

 ist divergent und unbrauchbar, wenn u- < — 1, ist aber di- 

 vergent und oscillierend, wenn ]j. ^ — 1. 



Auf die Aufgabe aber : eine Potenzreihe, die auf ihrem 

 Convergenzkreise durchgängig divergieren, oscillieren oder 

 unbrauchbar sein soll, zu bilden, wird in dem Aufsatze noch 

 nicht eingegangen. 



