— 73 — 
géomètres de l’Inde imaginèrent, pour lextraction 
des racines carrées en général, un procédé aussi 
simple qu’ingénieux. Rappelons-le succinctement. 
Supposons, pour fixer les idées, qu'il s'agisse d’éva- 
luer approximativement y 2. A cet effet, on consi- 
dère 2 comme le produit des nombres 1 et 2, dont la 
moyenne arithmétique et la moyenne harmonique 
sont respectivement + et +, de produit égal à 2. En 
répétant sur ces deux nombres les mêmes opérations, 
on obtient et, puis el, et ainsi de suite. 
On forme ainsi deux suites infinies de nombres: les 
moyennes arithmétiques et les moyennes harmoni- 
ques. On démontre alors facilement par le calcul ou 
par une figure géométrique que les premières vont 
en décroissant, tout en surpassant #2; que les se- 
condes vont en croissant sans dépasser 92, et que 
la différence des deux moyennes du même rang dé- 
croit avec une très grande rapidité (Lucas). 
En réalité, ce procédé revient à calculer les réduites 
d'ordre pair de la fraction continue périodique 
1: RAT PET ARRERE ), dont les indices vont en progression 
géométrique, à savoir: r,—%—1,5;r,—;,—1,41666...: 
re —1,M42157. Comme on le sait, la valeur 
approchée de #2? est, avec sept décimales, 1,4142136. 
C’est aussi en cherchant un moyen expéditif d’ex- 
traire la racine carrée d’un nombre, que Pietro Anto- 
nio Cataldi parvint à développer celle de 18 en frac- 
tion continue, dans son Tratlato del modo brevissimo di 
trovare la radice quadra delli numeri, imprimé en 1613. 
Les notations qu’il y emploie sont, à peu de chose 
près, celles dont nous faisons encore usage de nos 
jours, en ligne oblique ou horizontale. Ainsi il écrit 
tout d’abord : 
