n. Abschnitt. I. Allgemeine Anordnung der Sprossungen. 615 



entspricht. Dieselbe Untersuchung an der folgenden Stellung, bei welcher das 

 Blatt No. 9 das erste über Blatt No. i befindliche ist, ergiebt, dass die hier durch 

 die Blattinsertionen gelegte Spirale drei Umläufe macht, ehe sie auf Blatt No. 9 

 trifft; und bei der folgenden Stellung (Blatt No. 14 über Blatt No. i) macht 

 sie sogar fünf Umläufe, bevor sie auf das Blatt No. 14 trifft. Die in Bruchtheilen 

 der Peripherie ausgedrückten Stellungsverhältnisse der Reihe nach nebeneinander 

 gestellt ergeben nun folgende Werthe für die bisher betrachteten Complexe: 

 h h h i> t'V Diese Zahlen zeigen die Gesetzmässigkeit, dass von je zweien 

 die Summe der Zähler dividirt durch die Summe der Nenner den folgenden 

 Bruch ergiebt; es lassen sich daher durch diesen sehr einfachen Prozess die bis- 

 her noch nicht berücksichtigten höheren Stellungsverhältnisse aus der Berechnung 



3 + 5 8 



construiren, und zwar zunächst 7: = — , und ebenso die folgenden Glieder 



8 + 13 21 ° 



^, 11^ u. s. w. Es ist interessant, auch die Winkelwerthe dieser Brüche wenig- 

 stens theilweise noch einmal zu wiederholen. Nur die ersten 4 Brüche lassen 

 sich genau in Graden und Minuten ausdrücken, nämlich 180°, 120°, 144° und 

 135°» von da an sind die Brüche periodische Decimalbrüche, so beispielsweise 



die ^-Stellung mit dem Winkelwerth von 138° 27' 41", 538461 Es ist 



nicht nöthig, die Winkelwerthe weiter auszurechnen; schon die Vergleichung der 

 letzten genügt, um zu zeigen, dass die Unterschiede, welche zwischen dem Winkel 

 in der Stelkmg -^- und |- so gross waren, sich stetig verkleinern; die beiden 

 genannten Winkel 180° und 120° schliessen in der That alle übrigen zwischen 

 sich ein, so dass die Werthe aller, um einen sehr einfachen Vergleich anzuführen, 

 das Aussehen eines aus seiner Ruhelage gebrachten Pendels annehmen, welches 

 zuerst nach beiden Seiten weit ausschlägt, aber allmählich unter Verkleinerung 

 seiner Schwingungen sich seiner Ruhelage nähert. Die ersten angeführten Diver- 

 genzen 180° und 120° würden demnach die Maxima der beiderseitigen Entfernung 

 von der Ruhelage darstellen. Die Ruhelage selbst ist nach den Untersuchungen 

 von L. und A. Bravais [Ueber die geometrische Anordnung der Blätter und der 

 Blüthenstände. Mit einem zweifachen Anhange. Aus dem Französischen über- 

 setzt von Walpers. Breslau 1839; pag. 30] der Endwerth eines continuirlichen 

 periodischen Bruches von der Form: i 



2 -\- I 



I + I 



I + I 



I H- I 



I -t- I 



I +^f 



I H- etc. 



3 — 1/5^ 

 welcher sich zu der Winkeldivergenz 360° • — = i37°3o'28" berechnen lässt, 



und dieses Bogenstück verhält sich zu der Kreisperipherie irrational, ist daher in 

 der Natur nicht realisirbar. Der grösste Ausschlag um den sich die Blattstellungen 

 von dieser idealen Ruhelage, bei welcher kein Blatt über dem anderen beobachtet 

 werden kann, in der ^-Stellung entfernen, ist darnach 42 °29'32"; der zweitgrösste 

 durch die ^-Stellung gelieferte ist schon viel geringer, nämlich i7°3o'28"; der 

 dritte beträgt in der | -Stellung nur noch 6°2 9'32", der vierte in der ^-Stellung 

 nur 2°29'32", und von da an muss der Ausschlag um so langsamer abnehmen, 

 je bemerkbarer die Abnahme im Anfang war, bis sie zuletzt unmerklich wird. 



Schenk, Handbuch der Botanik. Bd. I. ai 



