II. Abschnitt, i. Allgemeine Anordnung der Sprossungen. 617 



concentrischen Kreise dienen daher nur dazu, gleiche Abstände anzugeben, welche 

 man von der als gleichmässig fortlaufend gedachten Spirale bei jedem Umlauf be- 

 schrieben denkt, der schon oben angedeuteten Methode entsprechend, die untersten 

 Sprossungen auf den äussersten und die obersten auf den innersten Kreisen zu 

 zeichnen. Auf dem ersten Umlaufe der Spirale liegen beispielsweise die Glieder 

 2 und 3; Glied 2 ist schon vom äussersten Kreise entfernt aber noch mehr von 

 dem zweiten Kreise entfernt eingetragen, Glied 3 dagegen dem zweitäussersten 

 Kreise schon ziemlich genähert; die Glieder 4, 5 und 6 fallen zwischen den 

 zweiten und dritten Kreis, dem letzteren successive näher rückend, u. s. w. Kein 

 Glied darf auf eine der 4, den Spiralumläufen entsprechenden Kreislinien selbst 

 gesetzt werden, bis das Glied 14 als ein genau über i fallendes auf dem Um- 

 laufskreise steht und damit einen neuen Complex beginnt.*) 



Es mag beiläufig erwähnt werden, dass sich ausser den beiden ersten Spiralstellungen, 

 die aber wegen ihrer Einfachheit zu wenig lehrreich sind, keine andere so leicht construiren 

 lässt, wie die zu der |-Stellung gehörige. Man braucht den zur Grundlage gewählten Kreis nur 

 in 8 Octanten zu zerlegen durch Radien, welche zugleich die Orthostichen bilden; von einem 

 äusserlich liegenden Anfangspunkte aus erhält man dann die übrigen Glieder, indem man stets 

 um drei Octanten in derselben Richtung weiter fortschreitend jedes neue Glied um eine kleine 

 Länge näher an das Centrum rückt und der Reihenfolge des Eintragens entsprechend numerirt. 



Bei aufmerksamer Betrachtung der Figur ergeben sich vier verschiedene 

 Liniensysteme ausser den concentrischen Kreisen, welche nur die Umlaufszahl 

 der Spirale anzeigen und weiter keinen Werth haben, als die Construction sicherer 

 zu machen. Die wichtigste ist die (in meiner Figur 6 nicht ausgezeichnete) Spiral- 

 linie, welche die acropetale Entwicklungsfolge bezeichnet und durch die Zahlen- 

 reihe I, 2, 3, 4, 5, ... . angegeben wird. Es ist dann ein System von 13 radiär 

 erscheinenden Orthostichen vorhanden, welche alle um 13 Nummern in der 

 Reihenfolge höheren Glieder mit einander verbinden, weil jedes 14. Glied über 

 einem der unteren liegt; von diesen Orthostichen ist besonders die erste wichtig, 

 weil sie die Anfangsglieder aller Complexe i, 14, 27 enthält In der Figur sind 

 die Orthostichen nur von dem Umlaufskreise an gezeichnet, für welchen sie zu- 

 erst eine Bedeutung haben, so dass die durch die Glieder 13, 26 und 39 gelegte 

 die kürzeste ist. Nun können aber auch noch zwei Systeme von Nebenspiralen 

 construirt werden, welche auf viel kürzerem Wege als die erste (acropetale) Spirale 

 zum Centrum des Kreises laufen, dafür aber um so zahlreicher sind, mit je 

 grösserer Geschwindigkeit sie das Centrum erreichen. Diese Nebenspiralen erhält 

 man durch Vergleichung der an irgend einerri Glied e zunächst stehenden höheren 

 Nummern, sowol rechts herum als links herum gezählt, natürlich ohne Berück- 

 sichtigung der auf der zugehörigen Orthostiche liegenden noch näheren Glieder. 

 So hat das Glied No. i vom Centrum des Kreises aus betrachtet als nächstes 

 rechts liegendes Glied No. 9, links No. 6; die Differenzen in der acropetalen 

 Rangordnung sind bezüglich 8 und 5 ; machen wir für das Glied No. 9 dieselbe 

 Untersuchung, so finden wir als das nächste Glied dem Kreiscentrum näher 

 rechts No. 17, links No. 14; auch hier ergeben sich dieselben bezüglichen Difife- 

 renzen 8 und 5. Wiederholen wir diese Probe mit allen überhaupt vorhandenen 

 Gliedern, so finden wir stets dieselben Differenzen 8 und 5, und ersehen daraus, 

 dass die rechts herum führenden Nebenspiralen aus den um 8 in der Rangordnung 



*) Im Holzschnitt sind die Punkte nicht immer genau an der ihnen zukommenden Stelle 

 eingetragen; so steht z. B. Punkt 6 auf dem dritten concentrischen Kreise, während er dem- 

 selben sehr nahe, aber noch zwischen Kreis 2 und 3 stehen sollte; u. s. w. 



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