est l’équation différentielle du premier ordre 
76 (x, y; y") en 0 
les intégrales de cette dernière, solutions singulières finies de 
la première, posséderont la propriété suivante: Par chaque 
point M d’une de ces courbes intégrales C, il passe une courbe 
intégrale de l’équation f—0, ayant un rebroussement de 
seconde espèce en M et la tangente en ce point à la courbe C 
pour tangente de rebroussementt. 
Plus généralement encore, la courbe que représente la 
solution singulière aura avec chacune de celles qui résultent 
de l’intécrale générale de l’équation proposée un contact d’un 
ordre marqué par le nombre de dérivées communes à la 
solution singulière et à chaque intégrale particulière*. 
La théorie des solutions singulières s'étend aux systèmes 
d'équations différentielles, l'intégration d’un tel système se 
ramenant à celle d’une équation différentielle ordinaire. En 
particulier, un système de deux équations du premier ordre 
comprend le cas d’une seule équation différentielle du second 
ordre, et vice versa. Les discriminants facilitent de nouveau 
grandement la recherche des solutions singulières. 
Soit, par exemple, le système traité par Legendre 
, di AZ 
(y? —2mx) JL pe 7 + 2my—o, 
dx dx 
2 Cat y dy ne 2m É = 
da dx dx dx 
Posons, pour abréger, 





Le ae 
—=y,; I — 
dx Ve 
? 
puis éliminons la fonction z entre les deux équations ci-dessus ; 
il s'ensuit l’équation du second ordre en y 
Q— my) GP y — max y + 2my)— 0. 
En assimilant celle-ci à une équation algébrique quadra- 
1 GouRsAT. Cours d'analyse mathématique. II, p. 526, exerc. 5. 
2 Lacroix. Traité du calcul différentiel et du calcul intégral. Ame éd., 
t. II, p. 468 et 469, j 
3 Mémoires de l'Académie des sciences de Paris, 1790. Lacroix. Traité 
du calcul différentiel et du calcul intégral. 2ne éd., IT, p. 399-401. 
