ÉrOUT ee 
Etablissons maintenant entre a et b une relation arbitraire, 
telle que b—+(a); les courbes intégrales dépendront ainsi 
d’un seul paramètre variable 4, et pourront dans certains cas 
admettre une enveloppe, c’est-à-dire être tangentes à une 
courbe C. Les coordonnées +, y, z d’un point de contact avec 
l'enveloppe devront alors vérifier les équations (1) et (2), ainsi 
que les deux suivantes : 

(3) OF : OF; de 
ou ob da 
G) OF, OF, db 

ou ob da 
Par l'élimination de x, y, z entre ces quatre équations, on 
sera conduit à une équation différentielle du premier ordre 
(D) + ( b, 2 ==}, 
da 
; db à 
d’un certain degré en je qui permettra de déterminer la re- 
da 
lation b—# (a). Les courbes de la congruence correspondantes 
engendrent alors une surface S et sont tangentes à une courbe C 
située sur S, que, par analogie avec d’autres considérations 
géométriques, nous appellerons l’arête de rebroussement de S. 
Du degré de l’équation (5) en . dépendra le nombre des 
la 
surfaces analogues à S. Toute courbe de la congruence tou- 
chera sur chacune d’elles l’arête de rebroussement corres- 
pondante en un point bien déterminé, qui a reçu le nom de 
point focal de cette courbe. Le lieu des points focaux est la 
surface focale de la congruence!; ce sera aussi le lieu des 
arêtes de rebroussement C des surfaces S, et, par conséquent, 
toutes les courbes de la congruence la toucheront. L’équation 
cartésienne de cette surface s’obtiendra en éliminant les 
paramètres a et b entre les trois relations 
4 GoursaT. Cours d'analyse mathématique, t. II, p. 521. — HumBERT. Cours 
d'analyse, t. I, p. 373. 
