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Des considérations qui précèdent, il ressort que les arêtes 
de rebroussement C sont aussi des courbes intégrales des 
équations différentielles proposées. En effet, en un point de C 
dy  dz | ’ 
les valeurs de x, y, 2, —=, —— sont les mêmes pour C et pour 
dx dx 
la courbe de la congruence tangente à C en ce point. Elles 
représenteront donc les solutions singulières, qui résulteront 
ainsi de l'intégration de l’équation du premier ordre (5)!. 
Appliquons ces principes au système de Legendre traité 
plus haut. 
Les équations de la congruence (intégrale générale du sys- 
tème) sont dans ce cas 
m2 + ay + b—o0, 
2y — 2 ax + —0, 
a et b désignant deux constantes arbitraires. L’équation de 
la surface focale de cette congruence s’obtiendra en éliminant 
a et b entre ces deux relations et la suivante 
DL U—0. 
On tire de la dernière 4— x; en portant cette valeur dans 
la seconde, il vient 
Zy — L—0. 
La surface focale, lieu des arêtes de rebroussement, est 
donc une quadrique dont il est aisé de déterminer la nature 
(cône du second degré ayant son sommet à l’origine). La dif- 
férentiation de son équation donne 

et mettant cette valeur dans les équations différentielles pro- 
posées, on tirera également de l’une et de l’autre 
(y? — mx) } +2 my—0, 
dl 
équation du premier ordre dont l'intégrale 
3mx ty —Cyy 
1 GOURSAT. Cours d'analyse mathématique, t. Il, p. 522. 
