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Form des Abstandes, Quadratwurzel aus einer Summe von Quadraten, dieselbe bleibt, 

 eine ortbogonale Transformation. Sind diese Vorstellungen diircblaufcn, so bat 

 man einen Begriff von der Gleichgültigkeit der vielfaebeu Totalität, ganz äliiilicb 

 wie von der des Raumes; man hat gleichsam die Totalität von dem willkürlichen 

 Zwang des zu ihrer Darstellung verwendeten Variabeln-Systems wiederum befreit. 

 Diese Andeutungen, bei denen ich einige Weitläufigkeit nicht wohl vermeiden konnte, 

 mögen genügen, um die Grundlage der hier behandelten Theorie zu bezeichnen. 



Die Abhandlung zerfällt in- drei Abschnitte, 1. über die linearen, 2. über die 

 sphärischen, 3. über die quadratischen und höheren Kontinuen. Um ohne Weitläufigkeit 

 zu zeigen, dass namentlich in den zwei ersten Abschnitten Dinge vorkommen, welche 

 von der analytischen Geometrie des Raumes aus kaum sich ahnen lassen, führe ich nur 

 den Satz in § 22 an. 



Um die Aussage desselben einzuleiten , diene folgende Erklärung. Wenn 

 jj = «35 + &(/ + cz + . . . + luv, p = a'x -\r- h' y -\' . . . ^ li'iv zwei lineare und homogene 

 Polygone der n orthogonalen Variabein x, y, . . . w bezeichnen, und man denkt sich die 

 Gesamtheit aller Lösungen, für welche zugleich jj > o, j) > o : so steht diese zur unbe- 

 schränkten Totalität im Verhältnis eines Bruchteils zum Ganzen. Wird 2 ir als letztes 

 Glied dieses Verhältnisses angenommen, so nenne ich das erste Glied den Winkel der 

 Polynome i),p'. Wird derselbe durch Z. {p,l}') bezeichnet, so ist 



, , ,, aa +bb' + cc + ... + hJi 



-cos L {pp)= y ^^.^,.^_ _^,. y ^-. + 6-. + . .. + ,-. ' 



wo die Quadratwurzeln im Nenner nur positiv zu verstehen sind. 



Ist nun das //fache Integral .S'^ = / dxchjdz . . . che durch die Bedingungen p^ > o, 

 P2> 0, ... Pn > 0, X- + //- + . . . -|- IV- < 1 begrenzt, so hängt sein Wert nur von den 

 Vä H ('i — 1) Winkeln zwischen den // linearen und homogenen Grenzpolynomen p ab 

 (wesshalb ich diese Winkel die Argumente der Funktion S„ nenne); und, wenn die 

 transcendente Funktion, als welche der Winkel in Beziehung auf seinen zunächt ge- 

 gebenen Kosinus aufzufassen ist, nicht mitgezählt wird, so erfordert die Berechnung 



jenes Integrals nur — ^ oder — ^ — fache Integrationen, je nachdem n gerade oder 



ungerade ist. Denn der z. B. nach dem Argument Z. (j;, P2) genommene Differential- 

 koeffizient von S„ ist der nte Teil eines ähnlichen, aber bloss (11 — 2) fachen Integrals 

 S„-2, dessen Argumente durch trigonometrische Relationen mit den ursprünglichen Ar- 

 gumenten verbunden sind. Transformiert man nämlich orthogonal die Variabein so, 

 dass die Polynome pi und ^j» nur die zwei ersten von den neuen Variabein enthalten, 

 und tilgt dann in allen übrigen Polynomen diese zwei Variabein, so hat man die n — 2 

 Grenzpolynome von y6'„_2. 



Ist die Ordnung n einer Funktion S„ ungerade, so kann man diese linear durch 

 lauter solche Funktionen von gerader Ordnung ausdrücken, deren Argumente geradezu 



