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schon unter den ursprünglichen sich vorfinden. (Hieher gehört es z. B., wenn für n = 3 

 der Inhalt eines Kugeldreiecks nicht eine neue transcendente Funktion erfordert, sondern 

 sich durch die schon der Ebene eigenen Funktionen, nämlich durch die Winkel des 

 Dreiecks, linear ausdrücken lässt.) Nur die Integrale -S,, von gerader Ordnung sind 

 demnach eigentümliche transcendente Funktionen. 



Man kann ferner jedes Integral .S„ auf mannigfaltige Weise als Summe von 

 Integralen derselben Ordnung darstellen, deren Argumente mittels trigonometrischer 

 Relationen aus den ursprünglichen zu berechnen sind. Unter diesen Arten der Zer- 

 legung giebt es auch solche, wo sämtliche Teil-Integrale eine spezielle Beschaffenheit 

 erhalten. Man kann nämlich die Grenzpolynome einer solchen N,, so an einander reihen, 

 dass nur die Winkel zwischen je zwei unmittelbar auf einander folgenden von rechten 

 abweichen, alle übrigen Winkel dagegen rechte sind. Eine so spezialisierte Funktion 

 ■S„ hat also nur noch n — 1 freie Argumente. Da es wünschbar ist, die Zahl der Argu- 

 mente einer Funktion so sehr als möglich zu vermindern, so richtet sich nun die ganze 

 Aufmerksamkeit auf diese speziellen Funktionen .s'„, welche ich Orthoscheme genannt 

 habe. Unter anderem führt die Betrachtung gewisser Perioden solcher Orthoscheme 

 zur Kenntnis einiger Fälle, wo der Wert eines Orthoschems in finiter Form angegeben 

 werden kann. Sollen zugleich alle Argumente rationale Teile des Halbkreises ti sein, 

 so glaube ich in der vorliegenden Abhandlung alle Fälle, wo dann auch das Orthoschem 

 zur Polysphäre ein rationales Verhältnis hat, vollständig aufgezählt zu haben. Für 

 n = i können die Nenner der Argumente nur 3, i, 5, für alle höheren Dimensions- 

 zahlen gar nur 3, i sein (das Argument -^ ist auszuschliessen, weil es immer auf eine 

 niedrigere Ordnung zurückführt). Der Entscheid, ob alle hieher gehörenden Fälle voll- 

 ständig aufgezählt sind, scheint ungemein schwierig; aber man wird das Interesse der 

 Frage am besten würdigen, wenn man bedenkt, dass ihr für n = 2 die bekannte von 

 Gauss absolvierte Aufgabe der Kreisteilung entspricht. 



Was in den zwei ersten Abschnitten gegeben ist, halte ich alles für neu. Anders 

 verhält es sich mit dem dritten Abschnitt. Hier findet die Bestimmung der Hauptaxen 

 eines quadratischen Kontinuums, als analytische Aufgabe betrachtet, sich schon in der 

 Theorie der sekulären Störungen der Planeten, wie sie Laplace in seiner Mecanique 

 Celeste gegeben hat. Die Bestimmung des kürzesten Weges auf einem quadratischen 

 Kontinuum findet sich angedeutet von Jacobi in einem Vortrag an die Berliner-Akademie 

 vom Jahre 1839. Dass ich ferner die Frage nach der Existenz ortliogonaler Kontinuen 

 aufgeworfen und erörtert habe, war veranlasst durch den von Lame eingeführten Be- 

 griff orthogonaler Flächen. Ob die hier für n = 3 gegebene Konstruktion eines ganz 

 beliebigen Systems orthogonaler Flächen schon von Lame ausgeführt worden ist, weiss 

 ich nicht, da mir die ersten Bände von Lionville's Journal, in denen dieser Gegenstand 

 wahrscheinlich I)ehandelt ist, nicht zu Gebot standen. Die Begriffe des Potentials und 

 des Differentialparameters sind von Gauss und Lame' so benannt und zu physikalischen 



