Erster Teil. 



Lehre von den linearen Kontinuen. 



§ 1. Definitionen. 



Wenn eine oder mehrere Gleichungen die n Variabein x, ij, z, . . . enthalten, so 

 nennt man jede Gruppe von Werten dieser letzten, welche allen jenen Gleichungen 

 genügen, eine Lösung des gegebenen Systems. Diese Lösung ist bestimmt, wenn die 

 Zahl der Gleichungen ebenfalls )i ist; dagegen wird ein kontinuierlicher Uebergang von 

 einer Lösung zu einer anderen möglich sein, wenn die Zahl der Gleichungen geringer 

 ist; in diesem Falle nenne ich die Gesamtheit aller Lösungen ein Kontinuum, und 

 zwar ein jfaches, wenn i die Zahl der unabhängigen Variabein (oder die Dimensions- 

 zahl des Kontinuums) ist; ferner ein lineares, wenn alle Gleichungen vom ersten Grade 

 sind, ein höheres, wenn wenigstens eine Gleichung den ersten Grad übersteigt. Ein 

 einfaches Kontinuum überhaupt werde ich Weg, und wenn es insbesondere noch linear 

 ist, Strahl nennen. Unter dem Weg, der zwei Lösungen verbindet, ist die Ge- 

 samtheit aller Lösungen zu verstehen, welche von der Anfangs- bis zur Endlösung 

 kontinuierlich auf einander folgen. Da von Kontinuen, welche nur durch eine Gleichung 

 zwischen n Variabein bestimmt sind, häufiger die Rede sein wird, als von solchen, deren 

 Dimensionszahl zwischen 1 und n — 1 liegt, so werde ich ein (« — 1) faches Kontinuum 

 meist schlechthin Kontinuum nennen, wenn kein Missverständnis zu besorgen ist. 



Da einmal das Wort Lösung eine Gruppe von zusammengehörigen Werten der 

 n Variabein x,y, . . . bezeichnet, so werde ich dasselbe Wort noch behalten, wenn auch 

 gar keine Gleichung vorliegt; und in diesem Sinne nenne ich die Gesamtheit aller 

 Lösungen die Totalität und zwar «fache Totalität, wenn es nötig wird, die Zahl 

 n aller Variabein x,i/,--- anzugeben. Sind zwar alle Variabein unter sich unabhängig, 

 aber dem «fachen Litegral Jd.rdyih . . . Grenzen gesetzt, durch welche keiner Variabein ein 

 unendliches Wachstum gestattet wird, so nenne ich die Gesamtheit aller Lösungen, 

 über welche sich dieses Integral erstreckt, ein geschlossenes Stück der Totalität 

 und das Integral selbst dessen Mass. Wie geschlossene Stücke eines Kontinuums 

 von beliebiger Dimensionszahl gemessen werden können, wird sich im weiteren Ver- 

 laufe zeigen. 



