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Wenn wir mm die Vorstellung von der Kontinuität aller in der «fachen Totalität 

 enthaltenen Lösungen von dem speziellen Systeme, vermöge dessen in jeder Lösung 

 die Variabein gerade diese und keine anderen Werte erhalten, frei zu machen suchen, 

 indem wir uns n Transformationsformeln, dui'ch welche die alten Variabein in neue 

 übergehen können, denken, so ist es ganz natürlich, dass wir den linearen Transformationen 

 vor allen anderen einen gewissen Vorzug geben. Die allereinfachste lineare Trans- 

 formation besteht darin, dass man jede alte Variable als Summe einer Konstanten und 

 einer gleichnamigen neuen Variabein setzt, und durch eine solche Transformation sind 

 wir immer im stände, irgend eine gegebene Lösung als eine erscheinen zu lassen, in 

 der sämtlichen neuen Variabein der Nullwert zukommt. Wenn wir daher eine Funktion 

 suchen, welche auf die möglichst einfache Weise die Verschiedenheit zweier Lösungen 

 misst, so werden nur die Unterschiede der gleichnamigen Variabein darin eingehen. 

 Sind diese Unterschiede alle bis auf einen gleich Null, so ist offenbar dieser, absolut 

 genommen, das natürliche Mass der Verschiedenheit beider Lösungen, und überhaupt 

 darf jene Funktion sich nicht ändern, wenn auch ein Unterschied negativ genommen 

 wird, weil die Aenderung des Vorzeichens bei einer Variabein die Aufeinanderfolge 

 der Lösungen in der Totalität nicht ändert. Es ist ferner natürlich, anzunehmen, dass, 

 wenn alle Unterschiede in demselben Veihältnisse vergrösseit werden, auch jene Funktion 

 in demselben Verhältnisse sich vergrössern muss. Die Funktion nmss also in Beziehung 

 auf die Unterschiede x, y, z, . . . der Variabein homogen und vom ersten Grade sein. 

 Endlich muss noch die Freiheit linearer Transformationen, durch welche die Form dieser 

 Funktion nicht geändert wird, möglichst gross sein. Alle diese Rücksichten zusammen 

 bestimmen uns, \ x'^ -\- y'^ -}- z^ -\~ . . . . als Foi'm dieser Funktion anzunehmen, wo die 

 Quadratwurzel immer positiv zu verstehen ist. Wir beginnen demnach die Theorie der 

 vielfachen Kontinuität mit folgender Definition : 



Das Quadrat des Abstandes zweier Lösungen ist gleich der Summe 

 der Quadrate der Unterschiede der gleichnamigen Variabein. 



Satz. Wenn drei reelle Lösungen gegeben sind, so giebt es zwischen 

 denselben im ganzen drei Abstände. Die Summe von je zweien derselben 

 kann nie kleiner sein als der dritte. 



Beweis. Die Unterschiede der Variabein seien a,h,..., wenn man von der 

 ersten Lösung zur zweiten fortgeht, und a , h' , . . ., wenn man von dieser zur dritten 

 fortgeht, dann sind sie a-\-n, h ->r ^>' , . . . ., wenn man von der ersten Lösung zur 

 dritten fortgeht. Werden nun die Abstände mit /•, r , >■" bezeichnet, so ist 



r'-' = a- +?,- + .. ., r'-' = a'- + h'- + . . ., r"'' = (« + a')- + (i + Uy + ....; 

 folglich 



,."2 _ ,.2 _ ,.'2 = 2 {aa + hh' +...)> 

 4 r' )■'■' — {,■"- - r^ - r'^f = 4 \(al' - a hf + etc.|. 



