Für reelle Lösungen ist also das Produkt 



(r + -/•'+/') (-r + r'+r") (/■-/+/') (/■ + /-/') 



immer positiv. Nehmen wir nun alle drei Abstände als positiv und r < r <r" an, so 

 sind ausser dem Faktor r -\- r ■ — r" alle drei übrigen positiv, folglich muss auch dieser 

 positiv sein, d. h. /• + '' >/". 



Sollte /■ + r' ^= /■" werden, so müssten alle Ausdrücke ah' — a h, etc. verschwinden, 

 d. h. es müsste aih-.c:... = d :V : c : sein. 



Wenn die Unterschiede der Werte zweier Lösungen, einei- konstanten Ä und 

 einer veränderlichen P, proportional wachsen, so durchläuft die Lösung P einen Strahl; 

 denn ihre Werte sind dann Funktionen ersten Grades einer einzigen unabhängigen 

 Variabein. Es sei B irgend eine von A verschiedene, in jenem Strahl enthaltene Lösung, 

 die wir uns als fest denken. Wenn dann auf demselben Strahl irgend eine Lösung P 

 auf A folgt und vor B vorhergeht, so ist immer der feste Abstand AB gleich der 

 Summe der veränderlichen Abstände AP und PB. 



Den Abstand AB denken wir uns daher fortan auch als Mass des Strahls, 

 welchen die Lösung P von A bis nach B durchläuft. 



Nehmen wir ausser den Lösungen A, B noch einige andere C, D, E an, welche 

 nicht auf dem Strahle AB liegen, so ist leicht zu zeigen, dass die Summe der hier ge- 

 nannten Abstände grösser ist als der Abstand AB. Es ist nämlich AC-{- CD> AD, 

 AD + DE> AE, AE+ EB>AB, also AC ^- CD + DE + EB> AB. Jene vier 

 Abstände, an einander gereiht, bilden aber ein einfaches Kontinuuni, das von A bis B reicht. 



Denken wir uns nun die n Variabein der Lösung P als eben so viele beliebige 

 Funktionen einer Unabhängigen, welche für einen Anfangswert derselben mit den Werten 

 der Lösung A und für einen Endwert mit den Werten der Lösung B zusammenfallen 

 und dazwischen keine LTnterbrechung der Kontinuität erleiden, so beschreibt gleichsam 

 die Lösung P einen von A bis B reichenden Weg, und es wird immer möglich sein, 

 auf diesem eine hinreichende Menge von Lösungen P so zu verteilen, dass der Fehler, 

 den man begeht, indem man den zwischen zwei unmittelbar auf einander folgenden 

 Lösungen enthaltenen Weg durch ihren Abstand ersetzt, von einer höheren Ordnung 

 wird, als dieser Abstand selbst, den wir uns als verschwindend klein denken. Daraus 

 folgt, dass jener totale Weg AB, wofern er nicht gerade ein Strahl ist, immer grösser 

 sein wird als der von einem Strahle beschriebene Abstand AB. 



Sind X, y, . . . die Variabein, dx, dij, . . . ihre Differentiale unter der Voraussetzung 



einer Unabhängigen, so ist s= y (^^^2 _|_ ^^^^a _)_ . . . die Länge des Weges, wenn 



das Litegral von der Lösung A bis zur Lösung B reicht. Die Variationsrechnung 

 zeigt, dass dieser Weg ein Minimum wird, wenn die Variabein Funktionen ersten 

 Grades sind. 



