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§ 2. Orthogonale Transformation der Variabein. 



Werden die n Variabeln x, y, . . . durch solche lineare Funktionen von /( neuen 

 Variabein t, f, t" , . . . ersetzt, dass der Ausdruck für den Abstand zweier Lösungen 

 seine Form nicht ändert, so soll diese lineare Transformation eine orthogonale heissen. 



Da im Ausdrucke für den Abstand /• zweier Lösungen nur die Unterschiede ihrer 

 •gleichnamigen Werte vorkommen, so sind hier die Konstanten jener linearen Trans- 

 formationsformeln von keinem Belang; und, wenn man sie weglässt, so sind die Differenzen 

 des ursprünglichen Systems im übrigen dieselben Funktionen der Differenzen des zweiten 

 Systems, wie die Variabein des ersten von denen des zweiten. Es seien daher x, y, . . . 

 die Differenzen der ursprünglichen, t, t' , t" , ... die der neuen Variabein, oder, was auf 

 dasselbe hinauskommt, 0,0,0,... seien in beiden Systemen die Werte der ersten Lösung. 

 X, y, z, . . . diejenigen der zweiten Lösung im alten, und t, t' t" , . . . im neuen Systeme. 



Dann sei 



X = at -{- a i' -+-■■■ , 



y =/9i + ^'i'H , 



etc. , 



so wird 



und wenn 

 Bedingungen 



+ Z/- -h • ■ • = («' -+■ ^- + • ■ •) t- -+- etc. + 2 («a ^-^ ßß' -^...)tt'-h etc.. 

 = i- + i"' + etc. sein soll, so müssen die Transformationselemente den 



«-+ ß''+ r + --- = l, etc. \ 

 aa + ßß' -i-yy' -\ = 0, etc. J 



(1) 



genügen. Es sei 



^ 



a . a . a 



ß.ß' .ß" 



so ist nach einem bekannten Satze: 



— ß- . — ora . — aa 

 2Ja a . 2a - . — a« 

 2a"a . —a'a . £a"- 



= z/-. 



also vermöge jener Bedingungen .d- = 1, und J entweder = — 1 oder = + L Wäre 

 ^ = — 1, so brauchte man nur eine der neuen Variabein entgegengesetzt zu nehmen, 

 um sogleich zi = 1 zu erhalten. Wir wollen daher fortan d = 1 annehmen. Sind nun 

 a, h, c, . . . die ergänzenden Elemente zu a, ß, y, . . ., d. h. ist 



2 



a 



Öct 



h = 



etc., 



