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so folgt z/i = ax + &// + f5 -j- •■ ■, etc. Wenn man aber die Transformationsformeln 

 resp. mit a, ß, y, . . . multipliziert und addiert, so ist vermöge der Bedingungen (1): 

 t = ax-h ßy -^r ■■, also, wenn J = 1 vorausgesetzt wird, a = a, b = ß, etc., d. li. die 

 ei'gänzenden Elemente sind den entsprechenden ursprünglichen gleich. Nun ist überhaupt 



aa -\- da + • • • = .4, etc., 



aß -ha'ß' -+ = 0, etc., 



also 



a'- -|- tt'- +a"'- n = 1, etc., 



aß~h aß' + a"ß" + • • • = 0, etc. 

 Mag man also die neuen Variabein in die alten, oder diese in jene verwandeln, beide 

 Verwandlungen sind durchaus ähnlich. 



Die Unterschiede der gleichnamigen Werte zweier Lösungen .4, B mögen fortan 

 Projektionen ihres Abstandes AB = r lieissen. Dann ist in jedem ortliogonalen 

 Systeme das Quadrat des Abstandes r gleich der Summe der Quadrate seiner Projektionen, 

 und dieser Satz ist als Definition eines orthogonalen Systems zu betrachten. Dann sind 

 auch orthogonale Transformationen solche lineare Transformationen, durch welche irgend 

 zwei orthogonale Systeme in einander übergehen. 



Sind die Anfangslösung A und alle h Projektionen des Abstandes r gegeben, so 

 ist dadurch die Endlösung B völlig bestimmt. Ist aber jene Anfangslösung frei und 

 sind nicht die Projektionen selbst, sondern nur ihre n — 1 Verhältnisse gegeben, so 

 sagen wir, die Richtung des Strahls sei bestimmt und nennen jene Projektionen, bei 

 denen es somit nur auf ihre gegenseitigen Verhältnisse ankommt, die Richtungs- 

 elemente dieses Strahls. Werden sämtliche Projektionen durch den Abstand dividiert, 

 so mögen die Quotienten Richtungscosinus heissen; diese sind also Projektionen eines 

 auf dem Strahle genommenen Abstandes 1. 



Wenn zwei Strahlen gleiche Richtung haben, d. h. wenn die Richtungselemente 

 des einen mit denen des andern propottional sind, so mögen sie parallel heissen. 



Demnach sind die oben gebrauchten Koeffizienten «,/?,/,.... im alten Systeme 

 die Richtungscosinus derselben Richtung, welche im neuen Systeme durch die Gleichungen 

 i' = i" ^ • • • = bestimmt ist u. s. f., und a, a' , «", ... sind im neuen Systeme die 

 Richtungscosinus der im alten durch // = < = ••• = bestimmten Richtung. Die Gleichung 

 aa' H-/?/3' -f- y/ H- • ■ • = drückt die Orthogonalität der beiden durch t und t' zu 

 bezeichnenden Richtungen aus. 



,§! 3. üeber den Winkel ziceier Eichtungen. 



Es seien x, y, z, . . . die Projektionen eines Abstandes /■ und x-, , y^, s',, . . . die- 

 jenigen eines andern r^, so geben die obigen orthogonalen Transformationsformeln: 



xx-^ H- yyi -r 3?i H "= tt^ + ^'i', + ft'^ H 



