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Dieser Ausdruck bleibt also in jedem orthogonalen System immer derselbe. Wir setzen 

 daher 



■'>^Xi -H 2/^1 + 22'i H = '"'"i cos IV 



und nennen ic den Winkel der Richtungen der beiden Abstände /• und )\. Daraus 

 folgt sogleich auch 



y/i sin IC = '}/ (xi/i — 3\yY + {xzi — a^js)^ + etc., 



wo die unter dem Wurzelzeichen stehende Summe sich auf alle Kombinationen zweiter 

 Klasse erstreckt. 



Der Cosinus des Winkels zweier Richtungen ist gleich der Summe dei' 

 Produkte der gleichnamigen Richtungscosinus. 



Zwei Richtungen sind orthogonal, wenn die Summe der Produkte ihrer gleich- 

 namigen Projektionen gleich Null ist. 



§ 4. Änioendung der orthogonalen Transformation 

 zum Beioeüe des Satzes, dass der Strahl der kürzeste Weg sei zwischen zwei 



auf ihm befindlichen Lösungen. 



Es seien a, ß, y, . . . die Richtungscosinus des gegebenen Strahls, so können immer 

 n — 1 andere Richtungen gefunden werden, welche mit jenem ein orthogonales System 



bilden. (Dabei bleiben -^ — Richtungscosinus frei.) Transformiert man dann 



die ursprünglichen Variabein x, y, . . . in solche t, t' , t'' , . . ., welche dem neuen System 

 entsprechen, so ist der gegebene Strahl nunmehr dadurch bestimmt, dass nur t variabel 

 bleibt, während t' , t" , . . . konstante Werte erhalten. Ein Stück desselben ist also durch 

 das Integral / dt, irgend ein anderer dieselben Lösungen verbindender Weg dagegen 



durch das zwischen denselben Grenzen genommene Integral | ]/ dt^ -\- dt'^ -{- dt"^ -'r 



dargestellt. Vergleicht man die Formen beider Integrale, so sieht man unmittelbar, 



dass dieses grösser ist als jenes. Also ist auch das Integral I ^ dx- -{-dy--^. , zwischen 



zweien gegebenen Grenzlösungen genommen, ein Minimum, wenn die Variabein lineare 

 Funktionen einer Unabhängigen sind. 



§ 6. Mass des Paralleloschems. 



n 



Das Mass T' einer umschlossenen Totalität ist durch das »fache \x\ies,vsi\ f dxdy dz . . . 



n- 1 



ausgedrückt. Hat nun das {u — 1) fache Integi'al fdydz... einen konstanten, von ic 

 unabhängigen Wert A, und sind die auf x bezüglichen Grenzen zwei konstante Werte, 



