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elemeute und der Determinante der neuen Projektionen, also (da jene für ein orthogonales 

 neues System gleich 1 ist) gleich dieser. Da aber, wie wir sogleich zeigen werden, 

 für jedes Paralleloschem immer ein orthogonales System von der Beschaffenheit jenes 

 alten gefunden werden kenn, so haben wir den allgemeinen Satz : 



Das Mass eines Paralleloschems ist gleich der Determinante der ortho- 

 gonalen Projektionen seiner Kanten. 



Die Projektionen der Kanten eines Paralleloschems in irgend einem orthogonalen 

 Systeme seien a, h, c, . . .; a, h' , c', . . .; a", h" , c" . . . : etc. Man soll dieses System in 

 ein neues orthogonales transformieren, zu welchem das Paralleloschem die oben voraus- 

 gesetzte Beziehung hat. Denkt man sich sowohl die Kanten als die neuen Variabein 

 X, F, . . . in einer der oben angenommenen entgegengesetzten Ordnung, so sind die 

 Projektionen im gesuchten System : 



A, 0, 0, 0, . . . 

 A' , ß , 0, 0, ... 

 Ä\ B", C", 0, ... 



X = aX -{- a Y -{- a" Z -]~ ■ ■ ■ , 



ij = ßX-hß'Y-^ß"Z^ , 



Es sei ferner 



so hat mau 



a = Aa 

 h =A^ 



a ^ Ä a -\- B' et 



ffl ^Att-\-Ba-\-Ca 

 b" = A"(3 +B"ß' -hC'ß" 



Durch die Gleichungen der ersten Vertikalreihe sind 



und K = -|-, ß 



b 

 A 



A= Vaä+6-+' 

 bestimmt. Da das neue System orthogonal sein soll, so liefert die zweite Vertikalreihe 



A: = «'« + fc'/3H 



und, wenn man nun den gefundenen Wert von A substituiert, auch 



B' = V {a - Äaf + ib' - ÄßY +■■■, «' = "' ~/'" 



Die dritte Vertikalreihe giebt 



A!' =a"a + b"ß-^, , B" = a" a +b"ß' -\ 



und, wenn diese zwei Werte substituiert werden, endlich auch C" , cc" , ß" , u. s. f. 



Jede im Paralleloschem enthaltene Lösung ist durch die Gleichungen 



X = Aa + r« -f/l"a." H , y = lb-\~l'b' -\-l"b" -\ , etc. 



dargestellt, wo die unbestimmten Faktoren l, l' , l" , . . . positive, echte Brüche bezeichnen. 



