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Wird die Determinante F= 2J+ «?/(■',. . mit sich selbst multipliziert, so ist das 

 Produkt wiederum gleich einer Determinante, deren Elemente 



a" -\- Ir -(- c" -|- • • • , aa -i-hh' -j-cc -\ , aa" -\-hh" + cc" -r — , etc.. 



aa -+■ Vb -\-cc^ , «'- + h"' +c- -\ , da" + h'h" + cc" -^ , etc., 



etc. 



sind. Bezeichnet man nun die Kanten des Paralleloschems mit l;,k',k", ... und die von 

 je zweien gebildeten Winkel mit Z. (kk'), • • • , so ist z. B. 



ft- -f &- H = k-, ad -i-hb' -\ = kk' cos /L (kk') 



und man hat 



F-= k^ .kk' cos ^ (/WO .kk" cos /LQck") . ... 



k'k cos Zl (/,-7.-) . //- . k'k" cos Z. (V/t") .... 



k"k cos Z (k'k) . k"k' cos A {k"k') . k"- .... 



= (kk'k")-X 



1 . cos Z (Jik') ■ cos Z (/.7i-") 



cos /L (k'k) . 1 . cos Z Q.'k") 



cos zl {k"k) . cos Z. (//'A:') . 1 



Das Mass des Paralleloschems ist also das Produkt aller seiner Kanten, multipliziert 

 mit der Quadratwurzel der Determinante, deren allgemeines Element der Cosinus des 

 Winkels ist, den jede Kante mit jeder Kante bildet. 



Ist V^ 0, so genügen alle Kanten einer und derselben linearen Gleichung, sie 

 fallen in eine und dieselbe Ebene und umgekehrt. Dann muss also auch die Detei'- 

 minante der Cosinus verschwinden. Sind die Winkel, welche n — 1 vom Ursprung aus- 

 gehenden Strahlen mit einander bilden, beliebig gegeben, und es soll ein «ter Strahl in 

 dem durch jene bestimmten linearen Kontinuum liegen, so kennen wir also eine Be- 

 dingung, welcher die ii — 1 Winkel, die dieser mit den übrigen Strahlen bildet, genügen 

 müssen. Setzt man n = 4, so passt das Gesagte auf den Fall, wo im Räume vier 

 Strahlen von einem Punkte ausgehen, und die obige Formel liefert uns unmittelbar die 

 Bedingung, welcher die Cosinus der sechs Seiten eines sphärischen Vierecks genügen 

 müssen. Nennen wir drei von einer Ecke ausgehende Seiten a, b, c, ihre Gegenseiten 

 «', V , c , so ist die Bedingung: 



= 



1 . cos rt . cos b . cos c 

 cos a . 1 . cos c . cos b' 

 cos b . cos c . 1 . cos d 

 cos c . cos h' . cos rt' . 1 



= 1 — - l"" cos- a + 21! cos d cos b' cos c 



+ 2" cos'- a cos- d — 2 2" cos a cos d cos b cos b' 



