— 15 — 



Fällt man aus einem innerhalb eines Tetraeders befindlichen Punkte Senkrechte 

 auf seine Ebenen, so ist jeder von zwei Senkrechten gebildete Winkel das Supplement 

 eines Flächenwinkels des Tetraeders. Man hat also in der letzten Gleichung auch die 

 Bedingung, durch welche die sechs Flächenwinkel eines Tetraeders verbunden sind. 



§ 6. lieber schiefe Systeme. 



Wenn wir die auf das vorige Paralleloschem bezüglichen Bezeichnungen be- 

 halten und 



at . a't' . a"t" . bt , h't' . b"t" . , 



X — -Y- -I- -^ H p- H , ^ — ~fc~ ' IT' "^ ~¥' ' ' ^'^''• 



setzen, so stellen diese Gleichungen eine Lösung dar, zu der man vom Ursprung aus 

 auf einem gebrochenen Wege gelangt, der aus den n Abständen t, t', t" , ... zusammen- 

 gesetzt ist, welche resp. mit den Kanten k, k' , k" ,_. . . des Paralleloschems parallel sind. 

 Denkt man sich die Abstände t, t' , t",... variabel, so repräsentieren sie ein schiefes 

 System. Setzen wir jetzt r'^ = x'- -\- y- -\- ■ ■ ■ , so bekommen wir als Abstand irgend 

 einer Lösung {t, t', t" , ...) vom Ursprung: 



r = V t- -f- 1"' -h t"- H \-2tt' cosZ. {kU) -{ h 2 iT cos /. Qc'k") H 



Durch die -^« (» — 1) Cosinus, welche in diesem Ausdruck für einen Abstand r, dessen 

 schiefe Projektionen t, t' , t" , ... sind, vorkommen, ist die Beschaffenheit des schiefen 

 Systems völlig bestimmt. Wird der Ursprung festgehalten, so ist die Lage eines schiefen 

 Systems durch )i (n — 1) Data bestimmt, die Lage irgend eines orthogonalen Systems 

 hingegen nur durch —^ it {n — 1) Data. Da es nun für die wesentliche Beschaffenheit 

 des schiefen Systems gleichgültig ist, auf welches orthogonale System dasselbe bezogen 

 werde, so hat man diese Zahl von jener abzuziehen, und es bleiben also wirklich nur 

 -^n (n — 1) wesentliche Data für das schiefe System übrig; als solche kann man die 

 Winkel Z. (kk'), . . . , oder die Koeffizienten der Produkte der Variabein im Ausdruck 

 für das Quadrat des Abstandes r ansehen. 



Das Element der Totalität ist im schiefen System ein Paralleloschem, dessen 

 Kanten dt, dt' , dt'\ . . . mit den Axen k, k', k" , .. . parallel sind. Bezeichnen wir die 

 Determinante der Cosinus der Winkel Z. (kk'), Z. (kk"), ... mit A', so ist dieses Element 



dV= A . dt dt' dt" 



,§ 7. Mass der Pyramide. 



n 



Es ist klar, dass das Integral P= A /'dt dt' dt" ... durch die Bedingungen 



f > 0, (■> 0, . . . . , -^ + -^ + -^ H < 1 



