— 18 — 



übrigen Vertikalreihen, so wird in diesen das allgemeine Element (A,w) — (ou) — ((^o) — (w)) 

 = (lf.t) — (ol) — (o/<) = — 21:. /.-,, cos .1 (k. 1:^), und o Ideibt nur in dem Element (l = o, 

 1.1 = o) noch übrig. Also ist ü eine lineare Funktion von o, in welcher der Koeffizient 

 von o) gleich 



öl'} ^ 

 ist, wenn T'-, wie früher, die Determinante der Elemente k.k cos Z. Q:.]:J bezeichnet, 

 wo sowohl l als /< die Werte 0, 1, 2, 3, ...n durchläuft. Also ist 



^' = VI — ^^ ^V^ ' "'"^ endlich P = 1/- — -j- -^^ • 



Für )i = 3 findet man 



P= ^ |/f [(Ol) + (23)] [- (Ol) (23) + (02) (13) + (03) (12)] - 2:(12) (23) (13). 



Wird dieser Ausdruck gleich Null gesetzt, so hat man die Relation, durch welche die 

 Quadrate der sechs Heiten eines Vierecks verbunden sind. Für n = 4 ist 



96 



I j| (01)^ (23)'^ - 2 £ (Olf (23) (34) - 4 i^ (Ol) . (23) (34) (42) | 

 ( -2 2; (Ol) (12) (23) (30) + ^:^ (Ol) (121(23) (34) (' 



(Die unter das Summenzeichen gesetzten Ziffern geben die Zahl der Glieder an, welche 

 jede Summe enthält.) Das Verschwinden dieses letzten Ausdrucks ist die Relation 

 zwischen den Quadraten der zehn Entfernungen von fünf beliebigen Punkten im Räume. 



Sind für ein beliebiges n alle -^ n (li — 1) Kanten der Pyramide der Einheit 



gleich, so ist 



P = 1 ]/ n + X 



1.2.3...H \ r 



§ 9. Anioendunq von § 6 auf die Verwandhing vielfacher Integrale. 



V 



Es sei Teine Funktion der »Variabein x, y, z, . . . und »S' = / Tdxdydz ... . Man 

 soll dasselbe Integral durch die n neuen Variabein t, t', t" . . . ausdrücken, wenn x, //, . . . 

 als unter sich unabhängige Funktionen derselben gegeben sind. 



Fassen wir x, y, . . . als Variabein eines orthogonalen Systems auf. so ist das 

 Produkt dxdij . . . das Element einer von den Integrationsgrenzen umschlossenen Totalität. 

 Wird jedes solche Element mit dem der betreffenden Lösung entsprechenden Werte der 

 Funktion T multipliziert und die Summe aller innerhalb des gegebenen Kontinuums 



