— 20 



Variabein gebildeten Totalität ist es daher auch ein l'ülyschem P„_,. Das gegebene 

 P„ ist also wenigstens von h-| 1 P„_, uinsclilossen, jedes von diesen wenigstens von 

 n P„_2 n. s. f. Im allgemeinen schneiden sich drei P„-i, als unbegrenzte lineare Kontinna 

 aufgefasst, erst in einem (n — 3)fachen, linearen Kontiniuim, und wenn sie sich schon 

 in einem (n — 2)fachen linearen Kontinuum schneiden, so sind ihre Gleichungen niclit 

 mein- unabhängig von einander. Tritt ein solcher spezieller Fall ein, so können docii 

 nicht alle drei (oder mehrere) P„_i, als begrenzte Gebilde aufgefasst, das fragliche P„ ..^ in 

 seiner ganzen Ausdehnung gemein haben; wir zerlegen es dann in Stücke, deren jedes 

 in seiner ganzen Ausdehnung immer nur zweien nachbarlichen P„_i gemein ist. 



Wir wollen daher durchweg annehmen, dass ein im Umschluss des P„ vorkommen- 

 des P„_o immer nur zweien P,,_, und dann in seiner ganzen Ausdehnung gemeinschaftlich 

 sei; hingegen zugeben, dass ein i^,_3 nicht nur wenigstens dreien, sondern auch mehreren 

 nachbarlichen P„_, gemein sein könne: ein P„_4 wenigstens vieren oder auch mehi'eren 

 P„^, u. s. f. 



Wenn keine zwei der P„_,, aus denen der Umschluss eines P„ besteht, sich 

 schneiden, und dasselbe doch eine einzige zusammenhängende Totalität bildet, so nennen 

 wir es nicht überschlagenes Polyschem, im entgegengesetzten Falle ein über- 

 schlagenes. Wenn keine innerhalb des gegebenen Polyschems befindliche Lösung 

 dem verlängerten Kontinuum eines seiner Grenz-P,j_i angehört, d. h. wenn für sämtliche 

 innerhalb des Polyschems fallende Lösungen das Polynom einer jeden Grenzgleichung 

 immer dasselbe Vorzeichen behält, wenn z. B. alle Polynome stets positiv bleiben, so 

 ist das Polyschem konvex. Durch eine innere Lösung sei ein unbegrenzter Strahl 

 gezogen, so kann auf diesem die Lösung nur nach den zwei entgegengesetzten Richtungen 

 sich fortbewegen; man denke sich die Werte der Lösung fortwährend in den Polynomen 

 aller Grenzgleichungen substituiert. In demselben Augenblicke nun, wo der Wei't eines 

 einzigen dieser Polynome ein entgegengesetztes Vorzeichen angenommen hat, ist auch 

 die bewegte Lösung ausserhalb des Polyschems getreten. Das Gleiche gilt für die 

 Bewegung in der entgegengesetzten Richtung. Folglich kann der Umschluss eines 

 konvexen Polyschems von einem Strahl in nicht mehr als zwei Lösungen geschnitten wei'den. 



Wird der Umschluss eines Polyschems P,,, ohne eines der P„_i zu zerbrechen, so 

 in zwei Teile geteilt, dass jeder ein einziges gebrochenes {n — l)faches Kontinuum bildet, 

 so soll jeder dieser Teile eine offene polyschematische Figur heissen. 



Satz. Wenn unter der Voraussetzung einer »fachen Totalität in einem 

 Polyschem oder einer offenen polj^schematischen Figur die Zahl der Grenz- 

 lösungen mit «0, die der Grenzstrahlen mit «,, überhaupt die Zahl der /fachen 

 polyschematisch geschlossenen linearen Grenzkontinuen P,- mit «, bezeichnet 

 wird, und ist endlich a„= 1, wenn ein geschlossenes Polyschem, a„ = 0, wenn 

 eine offene polyschematische Figur vorliegt, so ist 



«0 — "l + «2 — «3 + «4 — ■ ■ • -H (— 1)"'' ««-1 + (— 1)" «.. = 1- 



