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Beweis. Ich nehme an, der Satz sei für die (// — l)faclie Totalität schon 

 bewiesen, und bezeichne in der »ifachen Totalität für irgend eine offene polyscheniatische 

 Figur die linke Seite der fraglichen Gleichung mit A„. Wird mm dieser Figur ein 

 neues P _, angefügt, ohne dass sie dadurch zu einem geschlossenen Polyschem wird, 

 so ist die diesem ganzen geschlossenen P„., entsprechende Zahl >4„_i nach der Voraus- 

 setzung gleich 1. Es hat aber mit der anfänglichen Figur eine derselben (*( — 1) fachen 

 Totalität angehörende, offene polyscheniatische Figur gemein, deren Zahl .4,j_| ebenfalls 

 gleich 1 ist. Da diese zweite Zahl .4„_, schon in der anfänglichen Zahl A„ enthalten 

 ist, so muss sie, bei der Berechnung des Zuwachses von J„, von der ersten Zahl 

 x4,j_i abgezogen werden; der Rest ist 0. Die Zahl a„ ist auch jetzt noch wie vorher. 

 Die anfängliche Zahl A„ hat also durch das Anfügen eines neuen P„_i keine Veränderung 

 erfahren. Ist hingegen die anfänglich offene Figur so beschaffen, dass sie durch das 

 Anfügen eines neuen P„_, zu einem geschlossenen Polyschem wird, so vei-ändern sich 

 die Zahlen «0, «,, «.j, . . . «„_2 nicht, die Zahl rt„_i wächst um 1, und die Zahl «„ geht 

 aus in 1 über. Da aber die Zahlen ii„^^ und «„ in dem fraglichen Ausdruck mit 

 entgegengesetzten A^orzeichen versehen sind, so wird auch in diesem Falle der Wert 

 A„ dieses Ausdruckes nicht geändert. Nehmen wir nun nach und nach ein P„_i nach 

 dem andern weg, so dass immer eine offene polyscheniatische Figur übrig bleibt, so 

 wird diese zuletzt aus einem einzigen P„_i bestehen, und, da ohnehin a„ = ist, so 

 wird das entsprechende A^ gleich sein der Zahl A,^^l dieses einzigen P«-,, also nach 

 der Voraussetzung gleich 1. Nun ist für h = 1 das P, ein begrenzter Strahl, also 

 «0 = 2, «1=1; folglich Ai = «o — "i = !• Der Satz ist somit bewiesen. 



,§ 11. BercchniDiji des Masses eines Polyschems. 



Durch ein [ti — 2)faches lineares Kontinuum und eine ausserhalb desselben be- 

 findliche Lösung kann immer ein {n — l)faches lineares Kontinuum, und zwar nur eines, 

 gelegt werden. Denn, wenn jenes durch die zwei simultanen Gleichungen u = 0, v = 0, 

 wo u, V lineare Funktionen der Variabein bedeuten, bestimmt ist, so ist jedes durch- 

 gehende (h — l)fache lineare Kontinuum in der Gleichung « + ^17=0, wo X einen 

 willkürlichen Faktor bezeichnet, enthalten. Soll es aber durch die gegebene Lösung gehen 

 und erhalten für diese die Funktionen «, v resp. die bestimmten Werte p, q, so muss auch 

 p -1-^(2 = sein. Hiedurch ist A bestimmt, und man hat qu — j;y = als Gleichung 

 des verlangten linearen Kontinuums. 



Denken wir uns nun das gegebene Polyschem P„ als konvex, wählen innerhalb 

 desselben eine beliebige Lösung und fixieren dann irgend ein P„_, des Umschlusses, so 

 ist auch dieses wieder von vielen P„_2 umschlossen, und wir legen durch jedes derselben 

 und jene innere Lösung ein lineares Kontinuum; dann erhalten wir einen polyschema- 

 tischen Kegel, welcher die Lösung zur Spitze und jenes fixierte P„_i zur Basis hat. 



