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Sind mm cii, h^, r,, . . . die n Projektionen von /;, im ursprünglichen System, so haben 

 wir früher gesehen, dass 



L\l:., cos L (/.■,/.".,) = «,«._, "- bj)., —-•••• 



ist. Bezeichnen jetzt /, i/, li, .... irgend iii der ii Projektionen a, Ji, c, so ist nach 



einem bekannten Satze : 



.s"- 



f2 -ih-h 



J in ' !/m ' '' in 



wenn die Summe sich auf alle Kombinationen ///// . . . ohne Wiederholungen und ;;(ter 

 Klasse aus den ii Elementen n, l, r, . . . erstreckt. Jede der ("J Determinanten, aus 



deren Quadraten diese Summe besteht, nennen wir eine Projektion von .s' auf das ent- 

 sprechende /»fache lineare Kontinuuni, für welches alle n — )ii mit /, g, h, . . . . nicht- 

 gleichnamigen ursprünglichen Variabein verschwinden. Es ist sogleich klar, dass, wenn 

 wir nur die Längen /.■,,/..,,.../,•,„ der Kanten, aber nicht ihre Richtungen ändern, 

 sämtliche Projektionen mit S proportional sich verändern werden. 



Betrachten wir nun wieder das beliebig umschlossene «(fache lineare Kontinuuni 

 und teilen dasselbe durch Scharen paralleler {m — l)facher linearer Kontinuen in un- 

 endlich kleine Paralleloscheme (oo™) dH, deren jedes die ("J Projektionen dP, dP', dP" , . . . 



hat, so ist dS- = dP- H- dP- -\-dP"--^,- und die Verhältnisse dS ulP-.dP' : dP" : . .. . 



sind konstant. Wenn also 8 das Mass des vf/fachen Kontinuums, P, P', P" . .... seine 

 Projektionen bezeichnen, so ist 



d. h. das Mass irgend eines geschlossenen linearen ///fachen Kontinuums ist 

 gleich der Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate seiner (^'M Projektionen. 



Wenn !<///< // — 1 ist, so sind die ("J Projektionen nicht unter sich unab- 

 hängig. Man kann nämlich die Gleichungen des linearen ///fachen Kontinuums immer 

 so darstellen, dass n — /// Variabein als lineare Funktionen der /// übrigen erscheinen. 

 In jeder von diesen sind /// Koeffizienten der Variabein und noch eine freie Konstante 

 gegeben; die letzte zählen wir nicht, als ohne Einfluss auf die Richtung des w/fachen 

 Kontinuums. Diese Richtung wird also im ganzen durch (// — ///) /// Data hinreichend 

 bestimmt. Setzen wir jetzt Projektionen, so kommt ausser der Richtung noch das Mass 



des projizierten Kontinuums als neues Datum hinzu. Also sind unter den ("j Pro- 

 jektionen nur (// — ///)/// 4- 1 unter sich unabhängig, alle übrigen aber sind 

 durch diese bestimmt. 



