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.S = s' - K, s"-' +K^s"-' — K,s"-' + . . .-hi~iy J\ .... (2) 

 wo Ki die Summe der Quadrate aller Determinanten iten Grades bezeichnet, welche 

 aus den Elementen a, h, . . . c, d , . . . gebildet werden können, und somit <"V Glieder 

 zählt. Es ist klar, dass K^ = ^1' wird. Wenn also die Polynome p, p , p' , . ■ ■ alle 

 von einander unabhängig sind, so ist die Gleichung >b' = vom «ten Grade und kann 

 die Null nicht zur Wurzel haben. 



Betrachton wir nun ein reciprokes Element der Determinante R : /l, z. B. das, 



A 

 welches dem ursprünglichen Element ^ s — a entspricht, und sehen davon ab, das J, 



B' , etc. Funktionen von a sind, so ist dasselbe — fpl^)- Denkt man sich aber iV als 



Funktion von s und den nn Grössen a, h, . . . <; «', . . ., so ist r -„— wegen der überall 



vorkommenden Quadrate von Determinanten gerade doppelt so gross. Jenes erste reci- 

 proke Element hat also den Wert — Tms— ■ Folglich ist 



«:ß:...:y = g^:-g^:...: — = g^:ö^:...:g^=etc (3) 



Die gesuchten Verhältnisse werden erst dann unbestimmt, wenn sämtliche nach den 



nn ursprünglichen Elementen «, h, . . . abgeleiteten Funktionen von S verschwinden. Da nun 



o ÖS , , ÖS , , 



« S = s-K — \- ~a^ — h etc. 

 OS - or« 



ist, so ist dann zugleich S = 0,-,,— = 0; folglich hat dann die Gleichung S = t) gleiche 

 Wurzeln. 



Wir müssen jetzt umgekehrt zeigen, dass, wenn die Systeme (1) gelten, sie die 

 gemachten Voraussetzungen zur notwendigen Folge haben. Es sei h = aa + hß ~\- ... 

 + cy, li = da + &'/? + ... + o'y, etc., wo //, /(', ...«,/?,... y nach Belieben mit 

 einem der unteren Zeiger 1, 2, 8, . . . n zu versehen sind. Multipliziert man die Glei- 

 chungen (1) mit «, «', ffl", . . . und addiert, so ergiebt sich, wenn man die ähnlichen 

 Gleichungen hinzunimmt, das System 



sa = ah + all + d'Jt' + . . . 



s{i = l)h + h'li + b"h" + . . . 



(4) 



sy = ch + eil + c'Ji" + . . . ) 



Bringen wir hier den untern Zeiger 1 an, multiplizieren mit k„, (?„,.. . y., und addieren, 

 so ergiebt sich 



s, (a, a., -\- ßi ßi + . . . + yi y.,) = /'i /'2 + /'i ''2 + K' Ih -r . . . 

 Vertauscht man die Zeiger 1 und 2 und subtrahiert beide Gleichungen von einander, 

 so bekommt man 



(s, — sj («, «,^ + (3, ^,, -f . . . -r y, y.) = 0. 



