Wenn die Wurzeln 5,, i>\ verschieden sind, so folgt hieraus 



a, a,~^ ß, ß, + ...+y, y,=0 (5) 



und 



/*, h. -+- h\ K + /(',' a;' + . . . = 0. 



Wären .«,, Sj zwei konjugierte imaginäre Wurzeln der Gleichung S = 0, so hätten auch 

 je zwei Verhältnisse, wie /3, : «,. (3_, : ce., konjugierte Werte, und ihr Produkt wäre die 

 Summe zweier Quadrate; die Gleichung (">) könnte also nicht bestehen. Also kann die 

 Gleichung .S' = keine imaginären Wuizcln haben. Hätte sie gleiche Wurzeln, und 

 gäbe das System (1) für die Verhältnisse a : ß : . . . : y bestimmte Werte, so könnte 

 man durch geringe Variation eines oder mehrerer der ursprünglichen Elemente die 

 Gleichheit der Wurzeln in eine geringe Verschiedenheit umändern, und dann würden 

 auch die entsprechenden Verhältnisreihen nur sehr wenig von einander abweichen ; die 

 Gleichung (5) würde dann 



«M- ß' H- . . . -r r 4- 2 ( ada + /3f/ß + . . . + ydy) = 0. 

 Da man die Variationen da, dß, . . . dy so klein, als man nur will, nmss machen können, 

 so muss auch «' + fJ- -(-... -r y' für die wirkliche Gleichheit beider Wurzeln ver- 

 schwinden, was die imaginäre Beschaffenheit der Verhältnisse, also auch des entspre- 

 chenden Werts von ^- voraussetzt. Wenn also die Gleichung S = gleiche reelle Wurzeln 

 hat, so dürfen die Verhältnisse a : ß : . . . : y durch das System (1) nicht bestimmt 

 werden, was notwendig erfordert, dass alle nn abgeleiteten Funktionen von .S' für eine 

 solche Wurzel verschwinden. Es ist dann immer noch möglich, dass n — 2 Gleichungen 

 des Systems (1) zwei unter sich unabhängige Reihen von Verhältnissen a : ß : . . . : y, 

 liefern, und es ist dann leicht, diese so einzurichten, dass sie der Orthogonalitätsbedingung 

 genügen. Der entsprechende rechte Winkel kann dann nach Belieben in seinem zwei- 

 fachen linearen Kontinuum herumgedreht werden. 



Man kann immer «- -f ß- + . . . -f- y- = 1 machen. Wenn man nun die Glei- 

 chungen (4) resp. mit «. ß. . . ■ y multipliziert und addiert, so erhält mau 



s = /i'^ -^ U- H- 7t"- -^ 



Die Wurzeln der Gleichung .S' = sind also sämtlich positiv, was auch schon aus den 

 n Zeichenwechseln in (2) folgt. 



Wir haben nun nachgewiesen, dass die Auflösung des Systems (1) im allgemeinen 

 (Gleichheit [von Wurzeln der Glchg. .9=0 ausgeschlossen) alles dasjenige in reeller 

 Form leistet, was die Aufgabe verlangt. Wegen der Anwendung auf das Folgende be- 

 merke ich nur noch, dass vermöge der Eigenschaft /(, h., H- h\ lü + etc. = 0, etc., aus 

 den Formen p = h^ t, M /(., ^, + . . . + A„ t,„ p -= h\ t\ + . . ., etc. noch andere sehr 

 vereinfachte sich sogleich ergeben. Man mache 



h h' , h" 



\s ] s V s 



