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;!;; Id. Ut'fier die Zahl der Teile, in welche die n fache Totalität durch eine 

 beliebir/e Menge (n — l)facher linearer Kontinua geteilt icird. 

 Satz. Sind i lineare Gleichungen mit /* Variabein gegeben, von denen 

 nie n-\'l zugleich bestehen, so ist die Zahl der durch sie gebildeten Teile 

 der Totalität 



Beweis. In der letzten der i linearen Gleichungen nehmen wir die Konstante 

 gross genug an, dass ihr Polynom immer das gleiche Vorzeichen mit dieser Konstanten 

 beliiilt, welche gemeinschaftliche Losung von je n der l — 1 übrigen Gleichungen man 

 darin auch substituieren mag. Die Zahl der Teile der Totalität, für welche jenes Polynom 

 das entgegengesetzte Zeichen seiner Konstante behält, ist dann gleich der Zahl der Teile 

 des (/i — Dfachen linearen Koiitinuums, für welches das Polynom verschwindet, oder 

 gleich der Zahl der Teile, in welche eine {n — l)fache Totalität von i— 1 linearen 

 Kontinuen geteilt wird, also gleich/ {n — 1,1 — 1). Da aber die erwähnten Teile der 

 /(fachen Totalität durch die letzte lineare Gleichung zu den schon von den übrigen 

 i — 1 Gleichungen gebildeten Teilen neu hinzugebracht werden, so ist 



Variiert man nun jene zuerst sehr gross angenommene Konstante, sodass die Gleichung 

 irgend eine schon vorhandene gemeinschaftliche Lösung von n der übrigen festen Glei- 

 chungen passiert, so ist leicht zu zeigen, dass die Zahl / {n, i) nachher gleich gross 

 ist, wie vorher. Statt eines geschlossenen Teiles nämlich, worin jenes bewegte Polynom 

 gleiches Vorzeichen mit seiner Konstanten und die it zur Lösung gehörenden Polynome 

 jedes sein bestimmtes Vorzeichen hatten, tritt nun wiederum ein geschlossener Teil auf, 

 innerhalb dessen alle h+1 Polynome entgegengesetzte Vorzeichen haben, wie vorher; 

 innerhalb aller übrigen Teile dagegen behält jedes der i Polynome dasselbe Vorzeichen 

 wie vorher. Um das Gesagte noch näher zu begründen, bezeichne ich diejenigen ii von 

 den i gegebenen Polynomen, welche für die betrachtete Lösung verschwinden, mit ^'u 

 j).j, . . . p,„ das Polynom, dessen Konstante berührt wird, mit p,,^^ , eliminiere dann aus 

 den n-\-l Gleichungen, welche diese p als lineare Funktionen der n Variabein x,y,... 

 angeben, diese letzteren, und erhalte so die Gleichung 



«1 Ih 4- «2P2 + • • • + ('nVn + ««+li'«+l = G, 



WO nur (J von jener variierten Konstanten abhängt. Ist nun zuerst C positiv gewesen, 

 so geben die Bedingungen, dass alle Glieder der linken Seite positiv sein sollten, einen 

 geschlossenen Teil der Totalität; und wenn jetzt C die Null passiert hat und negativ 

 geworden ist, so muss man verlangen, dass a^ j)^, (U p^,- ■■ «„+1 jj„+i sämtlich negativ seien, 

 um eine geschlossene Totalität zu bekommen. Innerhalb beider geschlossener Totali- 

 täten hat also der Wert eines jeden der Polynome jj,,2;a, . . .p„+i entgegengesetztes Vor- 



