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zeichen. Die gemachte Bemerkung gilt, so oft das bewegte Polynom eine Lösnng 

 passiert. Die Zahl / {n, i) ist daher von der gegenseitigen Lage aller l linearen 

 Kontinua unabhängig, wofern nur nie mehr als n derselben in einer Lösung zusammen- 

 treffen. 



Ist kein lineares Kontinuum gegeben, so zählt die ungeteilte Totalität für 1; 

 folglich ist / (/(,o) = 1. Addiert man nun die Gleichungen 



/(«. i) =/(«. i - 1) +/(" — 1, i - 1), 

 /(«, i - 1) =/(«, i - 2) -f /(« -l,i- 2), 



/(«,l)=/(n,o)H-/(«-l,o), 

 /(«,o)=l, 

 so erhält man 



/{«,*) = 1-1 /(h-1,o)H/(«-1,1)+/(h- l,2)-f ...-!■/(« -l,j-l). 

 Es sei /(h, i) — f{n — l,i) = (p{n,i), so ist cp{n,o) = o, und 



<p («, i) =cp(n— 1, l) + (ip(M - 1,2) -f (jP (h — 1, 3) +. . . + <)p(h — l,i - 1). 



Nun ist /(l, 0= i + 1, also /(o, i — 1) =/(l,2) — /(!,« — 1) = 1, daher auch f(o,i) 

 = 1 und deshalb cf(l,i) = i; folglich ist 



f/.(2,0= 1 -f2 + 3 + ... + (i-l) = g) 



-^(3,0= © + ©+•■•+ C-^')=Ö 



und überhaupt ip {ii, i) = ('J. Da somit 

 ist, so folgt nun leicht: 



Man sieht leicht, dass, wenn i<_n ist, /(h, j)=2' wird. 



Der soeben bewiesene Satz kann auch so ausgesprochen werden: Wenn / li- 

 neare Polynome mit >i Variabein beliebig gegeben sind, sodass nie mehr als 

 n zugleich verschwinden, aber auch immer n durch eine und dieselbe end- 

 liche Lösung zum Verschwinden gebracht werden, so ist die Zahl der ver- 

 schiedenen Gruppen von Vorzeichen, welche die Werte dieser Polynome für 



alle reellen Lösungen annehmen, gleich (') + (o) + ■•• + (' )• 



Satz. Unter derselben Voraussetzung ist die Zahl der Vorzeichen- 

 gruppen, welche nur für endliche Werte der Variabein stattfinden können, 



gleich r 1 . Man kann dies die Zahl der geschlossenen Teile der Totalität nennen. 



