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Beweis. Wenn irgend ii-'rl Polynome gewählt werden, so kann man dieselben 

 mit solchen konstanten und endlichen Faktoren multiplizieren, dass aus der Summe der 

 Produkte die u Variabein verschwinden. Wir haben dann eine homogene lineare Funktion 

 der » + 1 Polynome gefunden, welche einer Konstanten gleich ist. Denken wir uns z. B. 

 jene Faktoren und diese Konstante sämtlich positiv und setzen für die ii + 1 Polynome 

 eine Gruppe positiver Vorzeichen, so ist klar, dass unter dieser Bedingung kein Polynom 

 einen unendlich grossen Wert haben kann. Da aber jede Variable als lineare Funktion 

 von » dieser Polynome dargestellt werden Jcann, so kann auch keine Variable unendlich 

 gross werden. Nun sei ein Polynom p so beschaffen, dass sein Wert für alle Lösungen, 

 welche irgend ii der übrigen Polynome verschwinden machen, dasselbe Vorzeichen, z. B. 

 -\-, habe, und es sei eine Gruppe von Vorzeichen bekannt, welche für p = o nur endliche 

 Lösungen gestattet, z.B. die Gruppe von i — 1 Pluszeichen; man nehme dann beliebige 

 n Polynome Jh^ Ih^ ■ • ■ Pn heraus und suche die identische Relation 



CP + «1 Pl + «2 P2 H- • . • 4- UnPn = Ä, 



wo .4 positiv sein möge, so müssen, damit für jj = nur endliche positive Werte von 

 Pl, po, . ■ ■ Pn stattfinden können, sämtliche Faktoren «i, «2, ...«„ positiv sein. Da aber 

 für die Lösung j;, = 0,])^ = 0,. . . p„ = auch p positiv sein soll, so muss auch a positiv 

 sein. Dann gestattet aber die Gruppe der positiven Vorzeichen iür p,Pi, . . .p„ nur 

 endliche Lösungen. Sobald man aber dem Polynom p jeden beliebigen negativen Wert 

 giebt, so kann auch z. B. 2), jeden beliebigen positiven Wert bekommen. Hieraus er- 

 giebt sich, dass zu der für die i — 1 Polynome stattfindenden Zahl der fraglichen Vor- 

 zeichengruppen durch das neue Polynom p noch die Zahl der für p ^= stattfindenden 

 Vorzeichengruppen, welche nur endliche Lösungen erlauben, hinzugebracht wird. Wenn 

 wir also die fragliche Zahl mit ,/' (h, i) bezeichnen, so ist 



f{n,i)=f{n,i-l)^f{n-l,i-l). 

 Dass der Durchgang von p durch eine Lösung nichts ändert, haben wir schon gesehen. 

 Daher dürfen wir jetzt die Bedingung fallen lassen, dass unter den gegebenen Polynomen 

 eines p sich finde, dessen Wert immer dasselbe Vorzeichen behalte, so oft auch je n der 

 übrigen Polynome zugleich verschwinden mögen; die Formel gilt allgemein. Nun ist 

 /()i,0 = o für i<», aber /(», Ji + 1)= 1; also f{ii,i)=f{n—\,n)+f{n — 1, )i -f- l) 

 +/ {11— 1, )2 --t- 2) -!- . . . +/(h — 1, i — 1). Es ist /(l, i) = j — 1 für i> 1, daher 



/(2,i) = ('7'), /(3, i) = ('7'), überhaupt /(«, i) = {^~'\ 



Satz. Wenn i homogene lineare Polynome mit n Variabein beliebig 

 gegeben sind, so ist die Zahl der Vorzeichengruppen 



MC:')-K'T')-('7')+-+(:,-;)) 



oder doppelt so gross wie für l — 1 nicht homogene lineare Polynome mit 

 nur /( - 1 Variabein. 



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