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Beweis. Man transforniiore die n Vaiiabeln so, dass eines der Polynome sich 

 auf eine einzige Variable, z. B. x, reduziert, dividiere dann alle iil)rigen Polynome durch 

 diese Variable x, so hat man es nur noch mit h — 1 Variabein und i — 1 nicht homo- 

 genen Polynomen zu thun. Man stelle sämtliche Gruppen der (' — 1 Vorzeichen auf. 

 Multipliziert man jetzt die Polynome mit einem positiven Werte von x, so werden die; 

 Gruppen nicht geändert, und zu jeder kommt noch das positive Vorzeichen des Polynoms 

 X hinzu. Multipliziert man dann auch mit einem negativen Wert von ,r, so werden in 

 jeder Gruppe alle Vorzeichen geändert, und für das Polynom x kommt das Minuszeichen 

 hinzu. Die Zahl der Vorzeichengruppen wird also wirklich doppelt so gross als vorher. 



Wenn i nichthomogene Polynome mit ii Variabein gegeben sind, so ist die Zaii! 

 aller Vorzeichengruppen zusammengesetzt aus der Zahl derer, welche nur endliche 

 Lösungen, und die Zahl derer, welche auch unendliche Lösungen gestatten. Die letzte 

 Zahl ist aber dieselbe, wie wenn man die Konstante eines jeden Polynoms weglässt, 

 sodass alle Polynome in Beziehung auf die n Variabein homogen werden. Wenn also 

 f{ii,i) die Zahl aller Vorzeichengruppen überhaupt bezeichnet, so ist 



/(»,o=2/(H-i,i-i)+(;i]). 



Verbinden wir dieses mit 



fin,i) ^-fin,i - l)H-/(« - 1,/ - 1), 



so folgt 



oder 



woraus wiederum 



sich ergiebt. 



/(«,i-i)-/(H-i,; i)=(\/) 



/(.,o-/(»-i-') = Q, 



§ 17. Beguläre Polyscheme der vierfachen Totalität. 



Wenn in der dreifachen Totalität, odei' im Piaume, ein reguläres Polyeder von 

 regulären ni Ecken umschlossen wird, deren je n in einer Ecke zusammenstossen, so 

 wollen wir dasselbe mit dem Charakter (»», n) bezeichnen. Die Geometrie kennt zwei 

 Verfahren, alle Kombinationen {m, n), welche vorhandenen Polyedern entsprechen, auf- 

 zuzählen und die Zahl der Stücke eines jeden zu bestimmen. Das erste Verfahren ist 

 rein konstruktiv, ohne llücksicht auf Massverhältni.sse. Man stellt sich nur die Aufgabe, 

 aus lauter m Ecken, deren je n einen Körperwinkel bilden, ein geschlossenes Polyeder 

 zusammenzulügen. Der 8atz in S 10 reicht für diesen Zweck hin: für u = '^ wird er 



