— 43 — 



«o — «1 +«2 — f'a = li oder, da (f^ = 1 ist, «„ — «, + a., = 2. Man findet leicht iia„ = 

 2ff[ = ina^ und hieraus 



((, : «1 : ff„ : 1 = 4 /;/ : 2 iini : 4 « : (4 — (m — 2) (« — 2)). 



Die Natur der Aufgabe verlangt für 4 — {m — 2)(n — 2) einen positiven Wert. Da nun 

 der kleinste Wert für )ii sowohl als für n die Zahl 3 ist, so sind für das Produkt 

 {iii — 2)(/i — 2) nur die Werte 1, 2, 3 möglich, woraus als einzig mögliche Charaktere 

 (3, 3), (3,4), (3, 5), (4, 3), (5, 3) sich ergeben. (Gestattet man für «,„, «,,«3 auch unendlich 

 grosse Werte, so kann noch ()n — 2){n — 2) = 4 sein, woraus die Charaktere (3,6), 

 (4,4), ((i,3) entstehen, welche nur die Arten anzeigen, aufweiche die Ebene mit gleichen 

 regulären Vielecken bedeckt werden kann.) Durch dieses Verfahren ist das Vorhanden- 

 sein der den fünf obigen Charakteren entsprechenden Polyeder noch nicht bewiesen, 

 sondern nur gezeigt, dass keine anderen Charaktere möglich sind. Es kommt nur noch 

 darauf an, einen dem Charakter entsprechenden Körperwinkel zu konstruieren. Gelingt 

 dies, so weiss man dann zum voraus, dass beim wiederholten Aneinanderfügen der offenen 

 polyedrischen Figur des Körperwinkels ein geschlossenes Polyeder von der bestimmten 

 Anzahl von Stücken entstehen wird. Vermöge der Natur dieses ersten konstruktiven 

 Verfahrens ist es gleichgiltig, ob der Körperwinkel einfach oder überschlagen sei; ebenso 

 in Beziehung auf das Vieleck; die Zahl der Stücke des Polyeders wird dieselbe bleiben. 

 Wenn wir z. B. das Symbol -- für ein überschlagenes reguläres Fünfteck gebrauchen, 

 dessen Perimeter zweimal herumgeht, so haben das einfache Polyeder (5, 3) und das 

 überschlagene (1, 3) die gleiche Zahl von Stücken. 



Das andere Verfahren gründet sich auf die Betrachtung von Massverhältnissen. 

 Man weiss z. B., dass die Konstruktion eines dem Charakter (;«,, h) entsprechenden re- 

 gulären Ecks die Bedingung — ] >-^ erfordert, und dass ein solches Eck auch für 



gebrochene Werte von m, n möglich ist, wenn sie nur dieser Bedingung genügen. Die 

 Projektion der Oberfläche des Polyeders auf eine um sein Centrum beschriebene Kugel 

 liefert ein Netz von regulären sphärischen Vielecken, und, da der Inhalt eines solchen 

 durch seine Winkel ausgedrückt werden kann, so ist das rationale Verhältnis, in welchem 

 er zur ganzen Kugelfläche steht, bekannt. Dabei ist aber immer noch möglich, dass 



das Netz nie sich schliesst. Setzen wir z. B. 111 = -"- , « = 3, so ist die Bedingung 



— + — > ^erfüllt; der Inhalt des (^ jEcks ist y ^f oder ^ der Kugelfläche. Obschon 



man daher einen Augenblick glauben könnte, das Netz bestände aus 12 überschlagenen 

 Siebenecken und enthielte die Kugelfläche 5 Mal, so kehrt doch das Netz nicht in sich 

 selbst zurück, weil (7, 3) nicht Charakter eines Polyeders sein kann. 



Schliesst man aber überschlagene Körperwinkel und Vielecke von der Betrachtung 

 aus, so giel)t auch dieses zweite Verfahren nur die wirklichen regulären Polyeder, und 



