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der Satz über doii Inhalt eines «pliärisclien Vielecks lehrt uns die Zahl der Stücke eines 

 jeden kennen. 



Gehen wir jetzt vom Ravime zur vierfachen Totalität über, so ist sogleich klar, 

 dass der Umschluss eines regulären Polyschems aus lauter gleichen regulären Polyedern 

 bestehen muss, denen wir den Charakter (/«, )i) geben wollen. Da aber um jede Grenz- 

 lösung herum die betreffenden Stücke des Umschlusses auf reguläre Art zusammengefügt 

 sein müssen, so ist nicht weniger klar, dass die Enden aller von der Grenzlösung aus- 

 gehenden Grenzstrahlen oder Kanten in einem und demselben dreifachen linearen 

 Kontinuum liegen, und wenn man dieses als Raum betrachtet, darin als Ecken eines 

 regulären Polyeders gruppiert sein müssen; da die Seitenflächen des letzten reguläre 

 n Ecke sind, so setzen wir {n,p) als Charakter dieses Polyeders. Hierdurch ist die 

 Bedeutung des Charakters {m,n,p), den wir für ein reguläres Polyschem gebrauchen 

 wollen, hinreichend erklärt. Bei der Aufsuchung der möglichen Charaktere dieser Art 

 können wir wiederum, wie vorhin für den Raum gezeigt worden, entweder ein kon- 

 struktives oder ein rechnendes Verfahren anzuwenden versuchen. Das erste würde, 

 wenn m,7i,;p rationale Brüche sind, nur ihre Zähler, das zweite hingegen ihre Werte 

 berücksichtigen. Was die allgemeine Bestimmung der Zahl der Stücke eines vierfachen 

 Polyschems vom Charakter {)ii,n,2)) betrifft, so lassen uns leider beide Verfahren gleich 

 sehr im Stich; das erste, weil die Formel «„— ai-|-a^ — a.^ -\- ai = l sich auf «„ — «j 

 + «2 — «3 = reduziert und deshalb nur die Verhältnisse der gesuchten Zahlen, nicht 

 ihre Werte selbst uns kennen lehrt; das zweite, weil es auf einfache Integrale von 

 transcendenter Natur führt, deren Auswertung nur für jeden einzelnen Charakter be- 

 sojiders und zwar mit Hilfe des ersten konstruktiven Verfahrens gelingt. Es bleibt 

 also kein anderes Mittel übrig, die Existenz irgend eines Polyschems {i)i,)i,}i) zu beur- 

 teilen und die Zahl seiner Stücke zu erfahren, als die wirkliche Konstruktion; durch den 

 Mangel einer apriorischen Formel für reguläre Polyscheme unterscheidet sich demnach 

 die vierfache Totalität wesentlich vom Räume. 



Wir versuchen zuerst auf dem allgemeinen Standpunkt das Mögliche zu thun. 

 Der Umschluss des regulären Polyschems (m,)),p) enthalte (/„ Ecken, «, Kanten, «» 

 Vielecke, a^ Polyeder, so ist «„ — a^ +«2 — *3 ^=0- Das schon erwähnte Polyeder (ji,p) 

 nennen wir Basis derjenigen Grenzlösung des Polyschems, welche Kanten aussendet 

 nach allen Ecken jenes ersten. Diese Basis hat 4)i: (2n-\-2p — np) Ecken, 2)ip: 

 (2n-\-2p — np) Kanten und ip: (2n-{-2p — np) Vielecke. Von der entsprechenden 

 Gi'enzlösung des Polyschems gehen also resp. so viele Kanten, )»-Ecke und Polyeder 

 (m, n) aus. Multipliziert man mit a„. so erhält man die Gesamtzahlen. Da aber jede 

 Kante zwei Grenzlösungen verbindet, jedes ;*^-Eck deren )ii. und jedes Polyeder {iii,n) 

 deren Am: (2iu-\-2n — um) in sich vereinigt, so hat man 



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