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oder 



(j„ : «, : tto : «3 = m (2 (/i +jj) — np) : 2 udi ■.2n p: p (2 («t + n) — m n). . . (1) 

 Es versteht sich von selbst, dass beide Chanilvtere (/«,») und (n,p) nur existie- 

 renden Polyedern entsprechen dürfen. Ist 1 die Seite eines regulären Polyeders («,/'), 



so ist -r sin ~: [^sin^ cos-— der Radius der umschriebenen Kueel. Wird aber 



-2 p ' p n ° 



1 als Kante AB des Polyschenis {iii,ii,p) angenommen, so ist 2 cos - die Seite der 

 Basis der Grenzlösung A, und wenn M das Centrum dieser Basis bezeichnet, so ist also 



der Radius MB der umschriebenen Kugel = cos — sin — : l'sin'^ cos^ — . Da AMB 



° m. P P n 



ein in .1/ rechtwinkliges Dreieck ist, so ist 4J/=|' sin^— sin^ cos- — : ysin'^ cos*—, 



° ' m p n ' p n 



und . 71 M 71 71 ,,^, 



""" sm — Sin — >cos— (2) 



■m p n "■ 



eine Bedingung, ohne welche das Polyschem nicht existieren kann. Auf der Verlänge- 

 rung des Strahls AM liegt eine Lösung 0, welche von A und B gleichweit absteht; sie 

 wird dann auch von allen andern Ecken der Basis gleichweit abstehen, ist also über- 

 haupt von allen Greuzlösungen des Polyschenis gleich weit entfernt; wir nennen sie 

 daher das Oentrum des Polyschenis und (JA seinen Radius. Ist nun C die Mitte der 

 Kante AB, so ist das Dreieck OAC dem ABM ähnlich; daher der Radius gleich: 



t 



sm ' cos- 



P 



l/sin^^ 



— Sin'' cos- 



Ist N das (Jentruni eines der in A zusammenstossenden Grenzpolyeder, so ist 



NA = ^sin — : l/sin-— — cos" — ; folglich bleibt das Verhältnis 



'■> 



TT 1/., 71. ,71 „7t 



A7J Sin — r/ sin- — Sin- cos- — 



iv^ w_r m p n 



OA 1/ . ., TT „71 \r. „71 , n 



l/sin- cos-— l/sin- cos* — 



r m H } p n 



sich gleich, wenn man auch m und p miteinander vertauscht; daher ändert sich auch 

 das Verhältnis ON: OA nicht. Im Räume entspricht der Satz, dass, wenn (»«, n) und 

 ();, n\) derselben Kugel eingeschrieben sind, sie auch wieder derselben Kugel um- 

 schrieben sind. 



Halten wir uns an ganze Werte von m, n,p, so genügen der Bedingung (2) nur 

 folgende Charaktere: 



(3,3,3), (3,3,4), (3,3,5), (3,4,3), (4,3,3), (5,3,3). 

 Der Charakter (4, 3, 4), welcher sin ^ • sin ^ = cos y giebt, lässt A mit M zusammen- 

 fallen und zeigt also nur die Erfüllung des Raums durch aneinander gelegte Würfel an. 



