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Die Centra N' aller in A zusammengefügter Polyeder ()», n) liegen in einem drei- 

 fachen linearen Kontinuum imd cnt.sprechen den Vielecken jener Basis {n,])), indem die 

 Strahlen AN durch die Mittelpunkte dieser Vielecke gehen; diese N bilden also ein 

 Polyeder {p, n). Es ist nun leicht einzusehen, dass die Centra aller das Polyschem 

 {in, n,ii) umschliessonden Polyeder die Grenzlüsungen eines neuen Polyschems (/», ii, in) 

 sind. Wenn also ein Polyschem von einem gewissen Charakter existiert, so existiert 

 auch das Polyschem, in dessen Charakter die Elemente die umgekehrte Ordnung be- 

 folgen. Wir nennen solche Polyscheme reciproke. Wenn zwei reciproke Polyscheme 

 gleichen Radius OA haben, so ist auch in beiden der Abstand OX des Centrums eines 

 Grenzpolyeders vom eigentlichen Centrum gleich. Unter den 6 oben nicht als unmöglich 

 aufgeführten Charakteren sind zwei, (3, 3, 3) und (3, 4, 3) mit sich selbst reciprok; die 

 übrigen bestehen aus zwei Paaren reciproker Charaktere: (3,3,4), (4,3,3) nnd (3,3,5), 

 (5,3,3). Im Räume ist bekanntlich nur das Tetraeder mit sich selbst reciprok; reciproke 

 Paare sind: Oktaeder, Hexaeder und Ikosaeder, Dodekaeder. 



Wir wollen nun durch wirkliche Konstruktion die Existenz aller 6 den obigen 

 Charakteren entsprechenden Polyscheme beweisen. 



1. Dem Charakter (3,3,3) entspricht das Polyschem mit der kleinsten Zahl von 

 Grenzkontinuen. Es hat also 5 Ecken, 10 Kanten. 10 Dreiecke und 5 Tetraeder. Wir 

 nennen es Pentaschem. 



2. Um das Polyschem (3, 3, 4) zu konstruieren, tragen wir auf den positiven und 

 negativen Hälften der vier vom Ursprung ausgehenden Axen acht gleiche Abstände 

 auf, so werden je vier auf lauter verschiedenen Axen befindliche Endlösungen ein Te- 

 traeder bilden, und da eine Gruppe von vier Vorzeichen auf 16 Arten variiert werden 

 kann, so giebt es 16 solche Tetraeder. Ist A das eine Ende einer Axe, so bilden die 

 6 Enden der 3 übrigen Axen ein Oktaeder (3, 4), als Basis von A. Das konstruierte 

 Polyschem entspricht also dem Charakter (3,3,4); es hat 8 Ecken, 24 Kanten, 32 Drei- 

 ecke und 16 Tetraeder, und möge daher Hekkaidekaschem heissen. 



3. Da jede Grenzlösung des Polyschems (3, 3, 5) eine ikosaedrische Basis hat, so 

 erheischt die folgende Erörterung eine vorläufige Bezeichnung aller Stücke des Ikosaeders 

 mit Ziffern. Ich denke mir zwei entgegengesetzte Ecken desselben durch eine Axe 

 verbunden und zähle dann die Stücke zonenweise ab. Es giebt dann zwei Zonen, welche 

 je 5 Ecken enthalten; je die dem einen Axenende benachbarte nenne ich seinen 

 Fünfeckschnitt. 



Schema d. Dreiecke. 

 1 2 3 4 5 

 6 7 8 9 10 

 11 12 13 14 15 

 16 17 18 19 20 



Schema der Kanten. 

 12 3 4 5 



6 7 8 9 10 



11 .16. 12.17.13. 18. 14. 19. 15.20 

 25 21 22 23 24 



26 27 28 29 30. 



