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einzig in diesen Formeln für />, , h^, h.^ kann das neue Eck x vorkommen, weil unter 

 allen bis jetzt bekannten Ecken nur diese mit x durch Kanten verbunden sind. Die 



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 Zahl aller ähnlichen neuen Scheitel ist demnach — ^ — ^= 20; sie entsprechen den 



Flächen des Ikosaeders und sollen durch Ci, r.,, . . . r„^ bezeichnet werden. Die mit a 

 diametral entgegengesetzten Scheitel der Basen von fc,, Z/,- • • ■ '^12 niogen d^. d,^,.. . d^n 

 heissen. 



Demnach sind jetzt die vollständigen Formeln für die Ecken h^, h.,, h^, welche 

 wir darum gerade anführen, weil nur diese den Scheitel f, enthalten, folgende: 



^4 h ''6 



•"2 ^3 



, h,\ 



^ h k hl ''( 



/ 



^/. 



Cl5 



d. 



/v, ll^ h^ h-, \ 



'■■1 <•■, 



Sie geben für das Eck r, die Formel: 



?'. 



c 



1)2 ?>3 Cj rf] ''r, 



1 I r. d.. X d„ 



Cg »3 X 



Von den drei noch unbekannten Scheiteln der Basis kann der mit x bezeichnete nur in 

 den Formeln der benachbai'ten Ecken c„, d^, d-^ vorkommen. (Die beiden nicht bezeich- 

 neten verhalten sich ähnlich). Jeder mit x analoge Scheitel kommt also in den 20 



Formeln für c nur zweimal vor; ihre Anzahl ist daher —~~ =30; sie entsprechen den 



Kanten und sollen mit e bezeichnet werden; jenes x z. B. wird, da es der den Flächen 

 1, 2 gemeinschaftlichen Kante entspricht, zu 63. Wir bekommen so für die Ecken r 

 der ersten Horizontalzeile, deren Basen den Scheitel rf, gemein haben, die Formeln: 



h., c„ (7, (-5 

 d^ <?2 ^1 fZ, I' 



h h fr, 



hs h^ r^ 

 c, d, 



'h <^l 



d.. 







''2 



3 <h I' 



d. 



cL 



''^ \ Cio <h e, 65 d^ 



Cr, 64 



fg ' ^ '10 



Aus der früheren Formel für h^ und aus diesen fünf ergiebt sich folgende Formel für 

 rfj, welches anderswo bis jetzt nicht vorgekommen ist: 



h 



<h 



