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diesen giebt es noch 16 Ecken, wie (V^, V2, '/-'i '/•:)• Im Eck (1, 0, 0, 0) treffen die 6 

 Oktaeder, x + ij=l, x + z=^l, x + iv ^-^ l, zusammen; im Eck ('/■_', 'A'i 'A. '/'■ä) die 

 6 Oktaeder, a? + y = 1, x + z = l, 2 + y = 1, 1/ ^~ tu = 1, w -h x = 1, 

 z-\-w=l. Der Abstand jedes Ecks vom Ursprung ist 1; jede Kante ist 1. Das 

 Centrum des Oktaeders (a;H-»/ = l) ist ('/-', '/'. 0, 0), sein Abstand vom Ursprung also 



y Y' o^^i'^'^ ^^^^ Radius der dem Oktaeder umschriebenen Kugel. Wir nennen dieses 

 Polyschem (3, 4, 3) nach der Zahl seiner Grenzoktaeder Eikositetraschem. Es hat 

 24 Ecken, 96 Kanten, 96 Dreiecke und 24 Oktaeder. Will man eines der 16 Ecken 



(^ ! ^ ) "^ ' ^) ^^^ Axenende erscheinen lassen, so braucht man nur die Variabein 



mittelst der orthogonalen Formeln 



X = ^ x' -\--j !/' + yZ +- w , 



1 ' I 1 ' I ' 1 ' 



2 = T 3;' — 'S" 2/' + T ■2' \ W, 



tf = -T .(. ' — \ y — "2' ■^' + "i "-■' 

 zu transformieren; die Determinante dieser Transformationselemente ist — 1. Eine 

 andere orthogonale Transformation ist 



im neuen Systeme sind dann alle 24 Ecken auf ähnliche Weise, z. B. durch (V4^, y 4 , 

 0, 0) dargestellt, hingegen von den Grenzkontinuen acht durch Gleichungen, wie a;'=y4 

 und die 16 übrigen durch Gleichungen, wie x -\- y -\- z -)-■ w = V2. 



Man wird leicht erkennen, dass dieses Polyschem (3, 4, 3) eine Kombination des 

 Hekkaidekaschems (3, 4, 3) und des sogleich näher zu beschreibenden Oktaschems 

 (4, 3, 3) ist. 



5. Das Polyschem (4, 3, 3) ist zum Hekkaidekaschem (3, 3, 4) reciprok; seine 

 Existenz ist hierdurch schon bewiesen; es hat 16 Ecken, 32 Kanten, 24 Quadrate und 

 8 Würfel, und möge daher Oktaschem heissen. Als Gleichungen der acht Grenz- 

 kontinua kann man w = ^i\, a; = +l, ^ = ±1, s= + l setzen; dann geben z.B. die 

 Bedingungen »^= + 1, — ^l<a;>l, —\<y<.\, — l<z<l einen Würfel. Die Ecken 

 sind (1, 1, 1, 1), und alle übrigen, welche sich hieraus durch Variation der Vorzeichen 

 ergeben. Das Oktaschem ist das vierfache orthogonale Paralleloschem, dessen Kanten 

 alle gleich sind. 



6. Die Existenz des Polyschems (5, 3, 3) ist schon durch seine Reciprozität zum 

 Hexakosioschem (3, 3, 5) bewiesen. Das es 600 Ecken, 1200 Kanten, 720 Fünfecke, 



