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die drei (Uiarakterc (}i, 3, 3, 3), (3, 3, 3, 4) und (4, 3, 3, 3). (Es gicbl aucli nur drei 

 Charaktere, für welche der letzte Ausdruck verschwindet, nämlich (3, 4, 3, 3), (3, 3, 4, 3) 

 und (4, 3, 3, 3), welche, wie wir schon wissen, alle Arten anzeigen, auf welche die vier- 

 fache Totalität durch reguläre Polyscheme ausgefüllt werden kann.) Die Existenz der 

 entsprechenden Polyscheme ist leicht zu beweisen. Das erste ist die Pyramide mit 

 lauter gleichen Kanten; das letzte ist das orthogonale Paralleloschem mit gleichen 

 Kanten, und das zweite das reciproke des letzten. 



Ueberhaupt existieren in der »fachen Totalität drei reguläre Polyscheme: 1. die 

 Pyramide vom Charakter (3, 3, 3 ... 3, 3), 2. das orthogonale Paralleloschem vom Cha- 

 rakter (4, 3, 3 . . . 3, 3), 3. das diesem reciproke Polyschem (3, 3, 3 . . . 3, 4). 



Es leuchtet auch sogleich ein, dass durch das Paralleloschem die Totalität erfüllt 

 werden kann, und dass diese Erfüllung durch den Charakter (4, 3, 3 . . . 3, 3, 4) dar- 

 gestellt wird. 



Wenn nun für die {u — l)fache Totalität nur die drei angeführten regulären 

 Polyscheme existieren, so sind für die »fache Totalität nur vier Charaktere denkbar: 

 1. wo alle Elemente gleich 3 sind, 2. wo die » — 2 ersten 3 und das letzte 4 sind, 

 3. wo dieselben Elemente in umgekehrter Ordnung stehen, 4. wo das erste und letzte 

 Element 4, alle übrigen 3 sind. Da aber der letzte Charakter die Erfüllung der (n — 1)- 

 fachen Totalität anzeigt, so giebt es auch für die «fache Totalität nur drei reguläre 

 Polyscheme. 



Da nun schon in der fünffachen Totalität nur die drei erwähnten regulären Poly- 

 scheme existieren, so existieren überhaupt in der »ifachen Totalität nur diese drei, 

 sobald n > 4 ist. Wir wollen nun diese regulären Polyscheme etwas näher betrachten. 



1. Reguläre Pyramide. DieH+1 Grenzkontinuen sind durch ebenso viele 

 Gleichungen dargestellt. Zur Bildung eines ifachen Grenzkontinuums werden« — i von 



diesen Gleichungen erfordert; es giebt (' _ •) Kombinationen dieser Art; wenn also a,- 

 die Zahl der ifachen Grenzkontinuen bezeichnet, so ist «;= (•,,)• Sind iernev S, B, h 



resp. das Mass, die Basis und die Höhe der »fachen Pyramide, so ist nach dem 

 Schlüsse von § 8: 



J |/«+i _ 1 R/, R _ 1 \/ZKL • 



i...nf 2» n ' 1 . 2 . . . (« - 1) f 2"-i ' 



folglich h = y—^ — = sin ~ , wenn a den Winkel bezeichnet, unter dem die Kante vom 



Centrum aus erscheint, also auch cos « = , und, wenn d den Winkel zwischen 



zweien (« — l)fachen Grenzkontinuen bedeutet, cos 6 = — . Wird die Kante als lineare 

 Einheit angenommen, der Abstand eines Ecks vom Centrum durch R, derjenige eines 



^ ^ 1 . a . 



