Z^v^eiter Teil. 



Lehre von den sphärischen Kontinuen. 



§ 19. Einleitung. — Begriff der Polysphäre, Mass derselben und ihres 



Umschhtsses. 



Dieser Abschnitt ist der Betrachtung des «fachen Integrals P„= i^ dxdydz. . . ., 

 begrenzt durch x^ -\-y' -\ — ■< 1 und durch n lineare und homogene, unter sich unab- 

 hängige Polynome, welche z. B. nie negativ werden dürfen, gewidmet. Obschon P„ zu- 

 nächst als Funktion der nn Koeffizienten dieser Grenzpolynome erscheint, so ist doch 



leicht zu zeigen, dass nur — n (« — 1) Unabhängige vorhanden sind, die sich immer 



gleich bleiben, welche orthogonale Transformation auch mit den Variabein vorgenommen 

 werden mag; eine solche Unabhängige ist nämlich die Summe der Produkte der gleich- 

 namigen Koeffizienten je zweier Grenzpolynome, vorausgesetzt, dass die Summe der 

 Quadrate der Koeffizienten eines jeden Polynoms der Einheit gleich sei. Wird für «=2 

 das Integral P, geometrisch aufgefasst, so stellt es den Inhalt eines Kreisausschnitts 

 dar, und die einzige Unabhängige ist der Kosinus des Mittelpunktswinkels; wir werden 

 der Konsequenz wegen in diesem Falle eine notwendige Integration annehmen, da der 

 Ausschnitt, oder, wenn man lieljor will, der Kreisbogen eine transcendente Funktion 

 seines Kosinus ist. In diesem Sinne können wir sagen, dass das ursprüngliche »fache 



Integral P„ nur — oder — ^— notwendige Integrationen erfordert, je nachdem seine Di- 

 mensionszahl n gerade oder ungerade ist. Es wird sich nämlich zeigen, dass im letzten 

 Fall das Integral P,„+i als lineare Funktion von Integralen Pj,,, P,„ o , . . . P^, P, dar- 

 gestellt werden kann. Während diese Beduktion ungerade Dimensionszahlen betrifft, 



bringt eine andere nicht minder merkwürdige die Zahl -^ n {n — 1) der Unabhängigen aat 



n — 1 herunter. Die allgemeine Funktion P„ kann nämlich auf n Arten als ein Ag- 

 gregat von 1 . 2 . 3 . 4 . . . (h — 1) speziellen Funktionen Q„ dargestellt werden; wenn 

 bei einer solchen Q„ die Grenzpolynome passend geordnet sind, so ist die Summe der 

 Produkte der Koeffizienten je zweier benachbarter im allgemeinen eine von Null ver- 

 schiedene Unabhängige, die Zahl dieser Unabhängigen demnach h — 1 ; alle anderen 



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