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Stücke oder Seiten), wie (345...«)) von denen jeder selbst sein einziges Argument ist; 

 d. h. es ist S (345...») = ( 3 4 5 . . . h, 1 2); hingegen S (45.. Tii) = (4 5 .7.77, 23) -f 

 (45... n, 1 3) -r (4 5 ... h, 1 2) — ?c. Da die Zahl der Seiten j n (n — 1) 

 ist, so kann man das Plagioschcm S auch als Funktion seiner Seiten auffassen. Die 

 Zahl aller seiner Stücke mit Einschluss der Argumente und Seiten ist 



"I'a)(«:V(")-^-' 



Ihre Abhängigkeit von den Argumenten ist folgende. Da man die Variabein immer 

 so orthogonal transformieren kann, dass in den drei Polynomen 2h' P^' P:i ""i" ^^'^^ ^^' 

 riabeln erscheinen, so kann man die Argumente (23), (13), (12) als Winkel eines Kugel- 

 dreiecks auffassen, welches die {ii — l)sphärischen Stücke (l, 23), (2,13), (3,12) zu Seiten 

 hat; diese sind somit durch die bekannten trigonometrischen Relationen in Funktion 

 jener gesetzt. Man kennt also alle (h — l)sphärisclien Stücke in Funktion der Argumente. 

 Wiederum sind z.B. (f, 34), (f, 24), (1,23) als Winkel, und (12, 34), (l3, 24), (l4, 23) 

 als entsprechende Seiten eines Kugeldreiecks anzusehen und dadurch mittelbar alle 

 (h — 2)sphärischen Stücke in Funktion der Argumente gesetzt. Dies geht so fort, bis 

 endlich die Seiten in Funktion der Argumente gefunden sind. Es ist klar, dass die 

 Supplemente der Argumente dieselben Funktionen der Supplemente der 

 Seiten sein werden, wie die Seiten von den Argumenten sind. 



Um diesen Vorstellungen ein analytisches Gewand zu leihen, suchen wiv zuerst 

 ein Orenzpolynom eines Perischems so auszudrücken, dass wir keiner Transformation 

 der Variabein bedürfen. Denkt man sich im Ausdruck eines solchen die anfänglichen 

 Variabein restituiert, und ist die Ziffer i von l, 2, . . .m verschieden, so muss man setzen 



Q.p[l2...m, i) = pt+Xip^ +l^2^-\-...-\~l^p„^- (1) 



die Faktoren l sind dann durch die Bedingung bestimmt, dass das neue Polynom zu 

 jedem der »i Polynome Pi, po,. . .p,^ orthogonal sein muss, also zusammen mit q durch 

 die Gleichungen: 



1 — 9^ — A, cos (i 1) — k, cos (i 2) — . . . — A,„ cos (i m) = 0, 



— cos (1 i) + A, — Ag cos (12) — ... — A,„ cos (1 m) = 0, 



— cos (2 i) — A, cos (2 1) + A., — . . . — A,„ cos (2 w) = 0, 



(2) 



— cos (m i) — Aj cos (/» 1) — A.^ cos (»(2) — + A,„ ^0. 



Gehen l, q, A in Ic, a, ;< über, so ist offenbar die Produktsurame der Koeffizienten der 



Polynome p. -f K Pi -i H A,„ p^ und p„-\- .«, p^ -\ hf',„iJ,„ gleich, wie wenn das 



zweite Polynom bloss durch p,, ersetzt wird, da die Polynome Pi, p^, ■ ■ -Pm zum ersten 

 orthogonal sein sollen. Man hat demnach 



^6 cos (l 2 . . . ni, ik) = cos (i k) + A cos (1 k) + A., cos (2 A;) + . . . + A„ cos {m k). 



