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oder, was dasselbe ist 



P(l -:?... ») = i; ^,-^,^,/(l2:;....1, N(l:2o...«) = ^7^y/(123....), 



iiiul nennen J'(['2o . . . n) eine /(-si)liärisclic plagioschcniatisclie Funktion, />,, 7*., . . . /;„ 

 ilire Orenzpolynome, und die von diesen gebildeten Winkel (12), . . . ihre Argumente. 



Jede solche Funktion bekommt die Einheit als Wert, wenn alle Argumente -, sind. 



Es itit dann z. B. 



/(12) == ;- U^). f{l2-3) ^/(12) +/(13) +/C23)- 2, 

 ./• ( 1 2 :i 4 5) - y (2 :; 1 5) -f etc. — 2 ( ./' ( 1 2 ) + etc. | • IC. 



.)"' ' r(") i)"~' /T"-'A -j 



Da ' - : „_, ' ' = (« — 2) • — ist, so wird die allgemeine Ditiereiitialgleichung 



n - n - 



des vorigen §: 



df (12 3... (0 =./' (12 , :U . . . /,) (//(12)+/(l3, 245...»/) df(X 3)4 etc. 



Nehmen wir jetzt an, jedes der m ersten Polynome Jh^lh^ ■ ■ ■ P,„ sei zu jedem 

 der übrigen jj,„^, , j)„+., , . . . p„ orthogonal. Man wird überhaupt die Variabein so 

 wählen können, dass in jenen nur die m Variabeln x\, a-j, . . . x,„ erscheinen. Kämen 

 nun diese auch in einem der folgenden Polynome vor, so würde aus den entsprechenden 

 in Orthogonalitätsliedingungen das Vei'schwinden der Determinante der Koeffizienten 

 jener in ersten Polynome folgen, was wir nicht zugeben dürfen, da diese unter sicii un- 

 alihängig sein sollen. Also können die n — m letzten Polynome nur die übrigen Va- 

 riabeln a,„+, , .rm+2 > • • ■ ~'\ enthalten. Es sei nun 

 cos- = spf + .t| H + x;i, z^+i -- sin & . iji, x„+., = sin & . jj.,, . . ., x„ = sin S . //„ „„ 



und man denke sich die in ersten Variabein, also auch 0, zuerst als konstant, und die 

 Integration nur in Beziehung auf die 11 — in letzten Variabein vollzogen, so werden die 

 auf diese bezüglichen linearen Integrationsgrenzen durch die Einführung der Variabeln 

 // nicht geändert, und es kommt nocii die Grenze y'i + ^'5 + ■ ■ • + !/'i-,„ < 1 hinzu. Da 

 das Produkt d x,^^i d Xn+., . . . d ,< „ sich in 



sin"-'" & . di/^ dij., . . . d!j„.,„ 

 verwandelt, so hat man: 



P (1 2 3 . . . »)=/(('" ^- 1) ('" - 1- -) • • • ") X 1 sin" - '" du\ d.r., . . . d.r,„ dij^ dt/., . . . dij,, _„, 



ilh > 0, Ih > 0, ■ ■ •Vm> 0, Ui >•''> .'72 >o....!J„. ,„ >o) 



= /(('» + 1) {'" + 2) ... 11) X I dx^ fix., . . . dx^ dx,„+i dx,„+2 • • ■ '^*n ' 



( j^i > 0, . . . p,„ > o, j;„,+i >o,...X„>o) 



