Denkt man sicli liier die /( Jii letzten V'ariabeln a;,,,, i > 'mi.;! ■ ■ ■ x„ zuerst als konstant, 

 und die Integration nur in Beziehung auf die in ersten Variabeln vollzogen, so erliält 

 man auf demselben Wege wie vorhin: 



P(l 23 . . . )/) =f{(m + 1) 0»-H2) . . . ») X/(12;J...)//)X ) dx^ dx., ...dx„ ; 



VicfH-a;:jH 1 a:<l\ 



\j'-'l > O, X„ > U,. . . X„ > 0/ 



also endlich: 



/(l 2 B . . . «) = /(l 2 3 . . . >,>) f{(m + 1) {m , 2) . . . n); 



d. li., sind m Grenzpolynomo einer /(-sphärischen Funktion sämtlich zu den ii — iii übrigen 

 orthogonal, so ist dieselbe das Produkt der von jenen begrenzten ««-sphärischen Funktion 

 und der von diesen begrenzten {n — j/*)- sphärischen. Hierbei ist zu bemerken, dass 

 /(l) == 1, weil auch für die Grenzen x- < 1, £c > o, / dx = 1 ist. Wenn also das 

 erste Grenzpolynom zu allen übrigen orthogonal ist, so hat man/(123. ..h)^/(234...«); 

 und wenn überhaupt die m ersten Polynome nicht nur zu allen übrigen, sondern auch 

 alle unter sich oi'thogonal sind, so hat man f {\ 23 . . . h) = /'( {m --(- 1) {m + 2) . . . )i). 



Wenn zwei plagioschematisclie Funktionen sich bloss dadurch unterscheiden, dass 

 ein bei der ersten positiv genommenes Grenzpolynom bei der andern negativ genommen 

 wird, so ist die Summe dieser Funktionen doppelt so gross als die nur von allen übrigen 

 Polynomen begrenzte Funktion: oder 



J'iVii 1'2- J'i^ ■ ■ ■ P-) +.f (— l\,l'.i, Vi^ ■ ■ ■ !'■■) = '-/O*., ]>,,.-. p„). 



Wenn man sich nämlich die zwei ersten Funktionen durch die entsprechenden Integrale 

 ersetzt denkt, so ist deren Summe ein ähnliches Integral, worin die Grenzbedingung 

 jj, > oder — p^ > o wegfällt; diese Summe bleibt sich daher gleich, wenn auch das 

 Polynom Pi sich ändert, z. B. zu allen übrigen Polynomen orthogonal wird; dann hat 

 aber jede der Funktionen, aus denen die Summe besteht, den Wert / (234... «); 

 folglich ist diese 2 / (234... ii). 



§ 24. Ueduldidii der /tcr/ysasp/iäri!«-///'!/ I'/df/iasf/ici/H; <uij' (irthisjihän'sc/te. 



Um die zwei Fälle einer geraden und einer ungeraden Diniensionszahl zu unter- 

 scheiden, gebrauchen wir die Ausdrücke Artiosphäre und Perissosphäre. Wir haben 

 schon gesehen, dass die trisphärischen und pentasphärischen Plagioscheme sich linear 

 durch artiosphärische Plagioscheme niedrigerer Ordming ausdrücken lassen, und stellen 

 nun folgenden allgemeinen Satz hin: 



Wenn _/!,„_i_i eine von den Polynomen /'p J'j, . • • i^a,,), begrenzte plagio- 

 schematische Funktion ist, und man mit - J'-,,,, ^'ie Summe aller 2)«-sphärischen 



