— 71 — 



Funktionen bezeichnet, welche von irgend 2 ;/* jener Polynome begrenzt 

 weril(Mi (./„ = 1 angcnoinnien). so ist 



y;„+, = ^(-iy«;2;y;„_„, d) 



wo die Koeffizienten a duit-h die Gleichung 



^""g^=l«-r ^.näi+i) ' ^^ 



definiert sind. 



Beweis. Differentiiert man die Gleichung (1) nach irgend einem Argument von 

 ./o,,, ,. z. B. nach (l'l), so fällt rechts das letzte Glied ( — 1)"«,, weg, und man erhält 



./:„_, (f2) = '^^\- \)' a, E /.,.._,:_, (12), 



eine ähnliche Gleichung, worin nur die Uimensionszahl 2 ;i + 1 durch 2 h — 1, und die 

 Grenzpolynome durch p (l 2, 3), y (l 2, 4), ... p (l 2, n) ersetzt sind. Wäre nun der 

 Satz für die (2 n — 1)-Sphäre schon zugegeben, so könnte man durch Integration von 

 dieser (Tleichung auf (1) zurückschliessen, und brauchte nur noch nachzuweisen, dass die 

 Integrationskonstante ( — 1)"«,,, richtig bestimmt ist. In der That, wenn wir annehmen, 

 dass alle Ai-gumente yon f,,. + i rechte seien, und edenken, dass die Summe 2' /',„_,,, so 

 viele Glieder zählt, als 2«! 1 Elemente zu je 2« — 2/ kombiniert werden können, 

 so wird die Gleichung (1) 



i-|(-i)'".ari;). 



oder, wenn man mit 1 . 2 . 3 . . . (2 « H- 1) dividiert, 



'y (-1)"-' «■• (- 1)" /..N 



^„ 1 ."i.3...('än-2/) 1 .!2.3...("J/+ 1) 1.2.3...("2)« + t) • " ' ' ^'^> 

 Dieselbe Rekursionsgleichung (3) findet man aber auch, wenn man die Gleichung (2) mit 



cosa;=l - -0-+ i.g".3.4. 



multipliziert, und in der Entwickelung die Koeffizienten von x''"" auf bcitien Seiten 

 einander gleich setzt. Die Integrationskonstante wäre also richtig bestimmt, wenn der 

 Satz für die Dimensionszahl 2 h — 1 wahr wäre. Da aber für die Trisphäre wirklich 

 /a = II f., — 2, und «o = li «1 = 2 ist, so ist der Satz allgemein bewiesen. 



Wir wollen die Gleichung (1) noch einer andern Probe unterwerfen, indem wir 

 annehmen, ein Grenzpolynom von /i„+i sei zu allen übrigen oithogonal; jenes mag 



