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ausgeführt weiden. Da aber der in {5 28 betrachtete Fall, wo eine plagioschematische 

 Funktion in ein i'roiUii<t zweier andeier zerfällt, .selir oft mit peris^so.sphärischen Faktoren 

 eintritt, und diese dann wiederum durch lineare Polynome artiosphärischer Funktionen 

 dargestellt werden müssen, so mag es schwer halten, auf diesem Wege zu einem all- 

 gemeinen Gesetz zu gelangen. Hingegen wird die Lösung der speziellen Aufgabe dieses 

 Paragraphen ganz leicht, wenn man sie unmittelbar angreift, ohne von der Gleichung 

 (1) in t; 24 auszugehen. 



Zur Vorbereitung auf das folgende diene diese auf § 2:> gestützte Bemerkung. 

 Bedeutet /' (1 2 -'5 4 . . . /i) eine orthoschematische Funktion, wo die Ziffern den Grenz- 

 polynomen entsprechen, und die Ordnung derselben die bekannte Bedeutung -hat, also 

 bloss umgekehrt, aber sonst nicht durch Permutation verändert werden darf, und man 

 lässt einige Polynome weg, sodass die Folge der übrigen durch Lücken unterbrochen 

 wird, so sind alle zwischen zwei Lücken oder zwischen einer Lücke und dem Anfang 

 oder Ende der ursprünglichen Reihe enthaltenen Polynome zu jedem der übrigen ortho- 

 gonal; daher findet die in § 23 gelehrte Zerfällung einer Funktion in Faktoren ihre 

 Anwendung auf jede niedrigere orthoschematische Funktion, welche einer durch Lücken 

 unterbrochenen Kombination der gegebenen Polynome entspricht. Ist z. B. iii — i > 1, 

 m < H, so ist 



/ (1 2 3 ... i m (m + 1) . . . ») =/ (1 2 3 . . . i)f{m {m +!)...»)• 

 Ln folgenden Satze können nur artiosphärische Faktoren vorkommen. 



Satz. Wenn /,„ + , die einem perissosphärischen Orthoscheni ent- 

 sprechende Funktion bezeichnet, und man lässt in der Reihe seiner 2 n -[- 1 

 Grenzpolynome deren 2 / H- 1 auf alle möglichen Arten so weg, dass jede 

 der ununterbrochenen Reihen, in welche die ursprüngliche Reihe durch die 

 entstandenen Lücken getrennt wird, eine gerade Anzahl von Polynomen 

 enthält; bezeichnet man ferner die Summe aller Funktionen, welche den 

 erwähnten Kombinationen der Grenzpolynome entsprechen, mit ^/»„-j.-, wo 

 die einzelnen Glieder teils einzelne Funktionen, teils Produkte von solchen 

 sind, je nachdem in der betreffenden Kombination alle Polynome eine fort- 

 laufende oder durch Lücken unterbrochene Reihe bilden, — so ist 



a.,.,= 1t^-0')^...- 0) 



z. B. 



