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/(,12 3)-/(2 3)-f/(12)-l, 

 J\l 2 :;5 4 5) -/(2 3 4 5) +f{\ 2)/(4 5) +/(1 2 3 4) 



- {/(4 5) -^/(3 4) +f(2 3) +/(1 2) ) + 2, 



J\l 2 3 4 ö (i 7) =/(2 3 4 5« 7) +/(! 2)/(4 5 6 7) 1 /(l 2 3 4)./\Ü 7) \-J\\ 2 3 4 r, fi) 



" {/(J •' 6 7) -I /(3 4)/(ü 7) 4/(3 4 5 6) +/(2 3)/(6 7) +/(2 3)/(r, ü) 



^ - /(2 3 4 5) -^/Cl 2)/(6 7) H /(l 2)/(5 6) +/(1 2)/(4 5) -]-/(! 2 3 4) j 



+ 2 { /(6 7) +/(5 6) +/ (4 5) +/(3 4) +f{2 3) +J\l 2) ] ~ 5. 



Beweis. Es fragt sich zuerst, wie oft man aus der Ivoihc 1, 2, 3,4, .. . (2 h + 1) 

 je zwei 2 Hl Ziffern weglassen iiann, sodass jede der zurückbleibenden fortlaufenden Reihen 

 eine gerade Anzahl von Ziffern enthält. Man ordne die zurückgebliebenen Ziffern paar- 

 weise, so hat man n — i Paare, und denke sich jedes Paar durch ein einziges Symbol 

 ersetzt. Zählt man die weggelassenen Ziffern einzeln ebenfalls als Symbole, so sind 

 deren im ganzen h+^ + 1, und man hat eine gewöhnliche Kombination (2i + l)ter 



Klasse aus )i+?' + l Elementen. Die Summe -f.,n-->i zählt also ("„■', . ) Glieder. 



Sind nun alle 2» + l Polynome unter sich orthogonal, so hat jede Funktion/ 

 den Wert 1 ; und, wenn die Gleichung (1) riclitig ist, so muss 



■■^(_,^-.,A /« + / + n 



f^„ i+i \U \ "-ii + l 1 ^ ' 



sein. Bedeutet /;„ die Summe rechts, so ist 



i= 



Also ist li„^= h,,^^ = li„_2= ■ • • = Jt^ = /'„; und, da h„=l ist, so ist die Gleichung (2) 

 allgemein gültig. Daraus ist zu schliessen, dass, wenn die Form der Gleichung (1) die 

 richtige ist, die Koeffizienten ebenfalls richtig gesetzt sind. 



Um die Form zu prüfen, differentiieren wir die Gleichung (1) nach irgend einem 

 Argument der Funktion /jn+i und erhalten offenbar eine Gleichung von derselben Form, 

 mit dem einzigen Unterschiede, dass die zwei das variierte Argument einschliessenden 

 Polynome herausgefallen, und durch die Unterdrückung des zu beiden normalen zwei- 

 fachen Koutinuums die zwei benachbarten Polynome verändert sind. Wenn also der 

 zu beweisende Satz für die (2 h — 1)-Sphäre bereits zugegeben ist, so kann mau durch 



