— 89 — 



cos (3^5. ..»,12) = 



cos(45...n, 12) +cos(45...», 1 .s) cos (45...»>, 23) 

 sin (45...», 1 3) sin (45... n, 123) 



rechts der Nenner des Bruchs verschwände, so niüsste auch der Zähler verschwinden, 

 was nicht sein kann, da derselbe die Summe zweier positiver Grössen ist. Der gleiche 

 Schluss ist auf die Annahme anwendbar, dass eine Determinante (« — 2)-ten Grades, 

 aber keine (« — 3)-ten Grades verschwinde, und so fort. Eine Determinante zweiten 

 Gi'ades endlich, wie J (1 2) kann nicht verschwinden, weil sonst ein ursprüngliches 

 Argument (12) gleich Null sein müsste. Demnach ist folgender Schluss rückwärts sicher: 

 Wenn alle Argumente des Plagioschems S (123...») positiv und spitz 

 sind, und es verschwindet die Determinante J (123...») der negativen Ko- 

 sinus der Argumente, so muss auch das Plagioschem verschwinden. 

 Für ein Orthoschem S (12 3... ») ist 

 .J(123...h)= j 1 •— cos(12)- • •... • 



-cos(21)- 1 -—cos (2 3). -...0 • 



•— cos(32)- 1 •— cos(34)-.. . • 



• • • • 1 • — cos ((» — 1) n) 



• • • •— cos(»(»— !))• 1 



--=z?(234...h)-cos-(12)^(34...h) = z/(123...(h-1))-cos-((»-1)»)^(123...(»— 2)). 

 Gebrauchen wir einfache Zeichen für die Argumente, indem wir (1 2) = «, (2 3) = ß, 

 (34) = }',.. ., ((» — 1) n) = und z/ (1 2 3 . . . ») = .J„ («, ß, . . . Q) setzen, wo der untere 

 Zeiger bei ^ den Grad der Determinante bedeutet, so haben wir zur successiven Be- 

 rechnung derselben folgende Reihe von Gleichungen: 



^„ = 1 , .Jj = 1, /J., (ß) = ^i — Jo cos^ a = sin^ «, z/3 («, ß)= zl^ — .J, cos'- ß 

 — sin'- a — cos^/9, /i^ («, ß, y)= ^^ — z/j cos^ y = sin'- a sin- y — cos^ (3, 



...., z/„(«,/?,...r,r„©) = .J„_, («,/?,. ..r,7^)-cos=^0z/C«,/3,...Q. ... (1) 



Die Realität des Orthoschems S («, ß, . ■ ■ »;, &) erfordert, dass keine dieser Deter- 

 minanten negativ sei. Die Reihe ihi'er Werte nimmt also fortwährend ab, und daher 

 ist es nicht möglich, dass eine ausser der letzten verschwinde. Man sieht leicht, dass 

 die Determinanten auch durcli Kettenbrüche definiert werden können; denn es ist z. B. 



z/ («. ß. y, J, ...Ti,@) 

 J 'ß, V, ()',... 7,, &) 



1 — 



1 — 



cos ^ ß 



cos- y 



1 



cos^ Jf 



1 — . 



1 —cos 2© 



12 



