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Aus (1) folgt auch leicht 



z/ («, /3, . . . £, 'C, >,, 0) -i- cos^ j; /^ (k, (9, . . . e) = sin- z/ («, ß, . . . c, Q. 

 Wenn also /l(a, ß, . . . e, L, 7j, 0) = ist, so hat man 



COS- = ,, ,' '-^ , Sin- = cos- >; -tt^-^^^ ~ • 



Zwei Sätze über die mit -d bezeichneten Funktionen mögen das folgende vor- 

 bereiten. 



1. Es ist 



z/ (ß, y, . . . >;, 0) ■^{ci,ß,y,... 1], 0) = cos" ß 

 //(/3,y,...»;)- ^{a,ß,y,...ij) 



/l{y,...ri,e)-z)(ß,y,...7],G) 



Um dieses zu beweisen, braucht man nur im Schema links die erste Vertikalzeile von 

 der zweiten abzuziehen und dann beide Zeilen zu vertauschen, indem man zugleich das 

 Vorzeichen der Determinante verändert. Wenn man aber die Determinante rechts wieder 

 so behandelt und dieses Verfahren fortsetzt, so gelangt man zuletzt zur Derminante 



also ist 

 ^ («, ß, . 



.J, . J, (0) 



= 1 — sin^ = cos'- 0; 



jy) d (ß,... j;, 0) — z/ (k, ß, . . . ?^, 0) .:/ {ß,. .. ?;) = cos- « cos- ß cos'- y... cos- 0. (2) 

 2. Multipliziert man die Gleichungen 



^ («- /^, y, ö = ^ (ß, r- — cos^ ttj(y,d,... V), 



/l iß, y,d,... L, »/) = J (y, d,.. .t, ij) — cos' ß zJ{d,.. . L, j^), 

 z/ (y, d,. . . 'C, J,, 0) = J {y, 6, . . . l, tj) — cos- &^{y, d, . . . 'C), 

 A {8,. . . L, ?;, 0, «) = ^ (J, . . . L, j;, 0) — cos- a A (ß, . . .1, i]) 



resp. mit . J (()',.. . L', 0, - // (d, . . . L'), J (^, ■ • • H, - ^ 0', (J, • • . Q, 

 addiert sie und bezeichnet die Summe links mit G, so hat man 



(? = -i ((?,.. . :, [i (/?, y, (5, . . . l) + cos'- ß j (d, ..:c)} 

 - A (y, ()■,... ;■) I j (<j, . . . r ,„0) + cos^0 d (d, . . . ;•) } 



= ^(d,...c,0 J(y,ö,...:)-^(?',c5,...pJ(<J,...;,v) = 0. 

 Man hat also die identische Gleichung 



