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ein neues Polynom ])„j,„_ zu suchen, welches zu J'.. , i'a 7 • • • J'„ orthogonal ist; es ist durch 

 diese Bedingungen vollkommen bestimmt und wird im allgemeinen alle Variabein 

 Xi,Xo,. ..Xn enthalten. Soll ein folgendes Polynom, ohne eine neue Variable aufzunehmen, 

 zu ft,J'4, . . .JJ„, J)„+i orthogonal sein, so erfüllt nur 7), diese Bedingung, sodass man 

 Ä (3 4 . . . n in + 1) (h + 2) l) = hat. Wie dies weiter geht, ist klar; wir sehen daraus, 

 dass auch die Polynome 2h^lht ■ ■ ■ Pn^Pn+i^Pn+i eine Periode bilden. 



§28. Anwendung des vorigen au f die Bestimmung arfiosphärischer Orthoscheme 



in einigen besondern Fällen. 



Es ist leicht zu beweisen, dass überhaupt 



z/ («, ...d,E,U, »;, 0, . . . A) = J («,... ()•, e) J (>y, 0, ... A) - cos'- £ . 7 («, . . . ()) . 7 (0, . . . ;i) (1) 



ist. Denn nehmen wir an, die Formel sei bis zu einer gewissen Zahl von Argumenten 

 »;, 0, ...-/., A, welche auf g folgen, bereits bewiesen, und denken uns die vorliegende 

 Gleichung (1) noch einmal mit Weglassung des letzten Arguments l geschrieben, multi- 

 plizieren diese mit — cos- a und fügen sie der vorigen hinzu, so ergiebt sich offenbar 

 eine ähnliche Gleichung, worin 11 als letztes Argument erscheint, und daher die Zahl 

 der auf t, folgenden Argumente i], &, . . . /., 1, f^t um 1 grösser ist als vorhin. Da nun 

 die Richtigkeit der Formel (1) für ein einziges auf t, folgendes Argument ?; leicht ein- 

 zusehen ist, so ist dieselbe allgemein bewiesen. 



I. Vergegenwärtigen wir uns wieder die in § 27 behandelte Periode von 2n-\-2 

 Argumenten a, ß, y, d, . . . /., l, /.i, r, i' und verlangen, dass das (*/ -|-2)-te Orthoschem 

 mit dem ersten .S' (a, /?,... z, A) direkt zusammenfalle, so ist klar, dass auch die Periode 

 der Argumente aus zwei direkt kongruenten Hälften bestehen muss; sie sei 



K, ß,y, . . . £, ?, »,, 0, «, ß, Y, . . e, 5, >„ 0. 



Von den drei Bedingungsgleichungen, denen diese Argumentenreihe genügen muss; 

 untersuchen wir nur die erste 



z/ («, /3, . . . t. r„ 0, «, /?,... £, t) = 0, 



mit der Absicht, sie nach cos- aufzulösen. AVir finden nach (1) 



J («, ß, . . . £) I . / («, ß,...t, - cos- J iß, . . . «, } = 0, 



also, da . / («, ß, . . . t) nicht verschwinden darf, 



.^ {a, /},... £, ,,) - cos= .J (/?,...£,?) = n (2) 



