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Machen wir hier cos^ i^ frei, so bekommen wir 



J («, /3, . . . £, — cos^ .1 {ß, ... e, — cos= ij J («, ^, . . . e) = 0, 



oder auch 



z/ (0, a, /?,...£, — cos= »; -J («, /5, . . . e) = 0, 



d. h. die Gleichung (2) koincidiert mit einer ähnliclicn, worin die periodische Argumenten- 

 reihe um ein Glied zurückgeschoben erscheint. Die eine und selbe Gleichung (2) kann 

 also im ganzen unter h H- 1 Gestalten erscheinen, welche durch eine Art von Kreis- 

 bewegung der n + 1 Argumente in einander übergehen. Da nun die drei Bedingungs- 

 gleichuiigen, von denen im Anfang gesprochen wurde, nichts anders als die resp. mit 

 den Faktoren J (a, /3, ...?). ^ iß, ?, ■ ■ ■ t, 0- -> (7. • • ■ V' ®) multiplizierte Gleichung (2) 

 sind, so sind sie alle zugleich mit dieser Gleichung (2) erfüllt. Dass die Gleichung (2) 

 von der Wahl des Anfangs der Argumentenreihe unabhängig ist, kann auch unmittelbar 

 eingesehen werden, wenn man ihr die Form 



2 cos a cos ß ... cos i, cos - 



giebt. Damit nun von dem Gesagten eine Anwendung auf die Bestimmung der ortho- 

 schematischen Funktion 



/,„ (a, ß, . . . e, ':, ?,, &, u, ß, . . . e) 



möglich sei (^ein Ausdruck durch artiosphärische Funktionen niedrigerer Ordnung), so 

 müssen uns die bekannten Ausdrücke für die Summe je zweier successiver Orthoscheme 

 nach einer Reihe wechselnder Additionen und Subtraktionen auf eine Summe, nicht 

 auf einen Unterschied, des ersten und (*i + 2)-ten Orthoschems führen; deshalb muss n 

 gerade sein, d. h. die Dimensionszahl der Sphäre muss durch 4 teilbar sein. 



Für die Tetrasphäre braucht man drei Argumente a, ß, y; die Relation (2), welche 

 sie verbindet, wird 



cos- a + cos- ß + cos- y = 1 (3) 



Das zweite Beispiel der Formel (1) in § 26 giebt 



=/(ß,(3, y, a) =/03, y, a) +/(«)/(«) +/(«,/i, y) - 2f{a) -J\ß) -f[,y) + 2, 



