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Die Argumente seien demnach ß, y, . . . »,, (-), ('), ?,, . . . y, ß. Dem ersten ß gehe a voran. 

 Es müssen dann die zwei Gleichungen 



J («, ß,y,... r„ 0, 0, /„...•/) = 0, (5) 



/l 03, y, . . . »,, 0, 0, »„?,... y, /3) = (6) 



erfüllt sein. Wird die erste so geschrieben 



^ {y, Ö,... »;, 0, 0, »„ . . . ^, «) = 0, 



so ist sie gerade die dritte Bedingungsgleichung. Es bleiben also nur zwei Bedingungen 

 zu erfüllen; und das (2n-f l)-te und (2 m -|- 2)-te Argument sind einander gleich. Man 

 hat also im ganzen nur n+1 verschiedene Argumente a, ß, y, . . . t, ?;, 0, wovon zwei, 

 z. B. a und 0, in Funktion der n — 1 übrigen ß, y, . . . t., ij bestimmt sind. Die Glei- 

 chung (6) wird nach (1) 



J 03, y,... »;, 0) .J (»,, S, . . . y, /3) - cos^ J {ß, y, . . . r,) J (t, . . . y, ß) 

 = A {ß,y,...i, { .1 {ß, y,... t, - 2 cos= d {ß, y, ...?)} = 0; 

 also 



„ .J(ß,y,...L,il) „ „ o z/ (ß, y, . . . t) 



^°^^= ^^(ß,r,...C) ' -cos2 0=cos->; ^^^^^^; __^^ ^, 

 und hiernach durch blosse Umkehrung der Argumentenreihe 



COS" « = ^-f?;^ F^ ' — cos 2 K = cos- ß ' ' 



was man auch auf einem etwas längeren Wege durch Substitution des schon gefundenen 

 in der Gleichung (5) erhält. 



Für die Tetrasphäre ist die Periode der Argumente u ß y y ß a; die Bedingungen 

 sind — cos 2 « ^ — cos 2 y = cos" ß, also a = y, und die Periode a ß a a ß u ist nur 

 ein besondererer Fall der schon oben behandelten Periode a |3 y « /3 7, für welche die 

 Gleichungen (3) und (4) bestehen. 



Für die Hexasphäre ist die Periode der Argumente a ß y ö ö y ß a; die Be- 

 dingungen sind 



„ cos '^ (3 „ ^ cos - y 



— COS 2 « = . „ , — cos 2 d = . ., , ; 

 sin - 7 sm - ß 



unter diesen ist: 



