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liehen Data eines »-sphäiischen Polyschems derjenigen für ein lineares Polj'scliem der 

 (n — 1)- fachen Totalität gleich, wenn die Anordnung der Perischeine hei heiden 

 übereinstimmt. Wir wollen daher diese letzte Zahl zu berechnen suchen. 



Ist {1 die Zahl aller {n — l)-lachen linearen Kontinuen, welche ein I'olyschem 

 der »-fachen Totalität begrenzen, und gehen h derselben durch ein erstes Eck, /(' durch 

 ein anderes, //' durch ein drittes, u. s. f.; so sind von den h Polynomen, welche dem 

 ersten Eck entsprechen, li — n von den übrigen abhängig, was für /< ^- n Bedingungen 

 zählt, u. s. f. Man wird sich bald überzeugen, dass keine von diesen Bedingungen über- 

 flüssig ist, und dass alle zusammen gerade hinreichen, um die Anordnung der Teile des 

 Polyschems auszudrücken. Da nun n die Zahl der wesentlichen Elemente einer linearen 



Gleichung mit n Variabein, und -^ n {n -1- 1) die Zahl der Data ist, durch welche irgend 



ein orthogonales System der Variabein bestimmt wird, so bekommen wir 



n (j — (h — n) — (// — ») — (/(" — )i) — etc. — -,- n (n -h 1) 



als Zahl der wesentlichen Data des Polyschems, d. h.: 



Die Zahl der Bestimmungsstücke eines linearen Polyschems der »-fachen 

 Totalität ist gleich der «-fachen Summe der Zahl aller (»— l)-fachen Peri- 

 scheme und derjenigen aller Ecken, vermindert um die Summe der Ecken- 

 zahlen eines joden (h — l)-fachen Perischems und um -^ n (h+1). 



Wenn für » = 3 die Zahlen der Ecken, Kanten und Vielecke eines Polyeders 

 mit «0, «1, «2 bezeichnet werden, so ist die Eükenzalil jedes Perischems oder Vielecks 

 seiner Seitenzahl gleich, die Summe dieser Zahlen also auch gleich der Summe der 

 Zahlen der durch jede Kante gehenden Perischeme, d. h. gleich 2 «j ; demnach ist die 

 Zahl der Data des Polyeders gleich 



3 («0 + a„) — 2 fl, — 6 == 3 («0 — «1 + «2 — 2) + «j = a, . 



Es folgt hieraus, dass ein räumliches Polyeder durch seine Kanten gerade bestimmt ist, 

 ebenso ein tetrasphärisches Polyschem durch seine Seiten oder auch durch die Argu- 

 mente, welche von je zweien sphäi-ischen Vielecken an der gemeinschaftlichen Seite 

 eingeschlossen werden. 



Denken wir uns alle Kanten eines linearen Polyschems der vierfachen Totalität 

 gegeben, so ist nach dem vorigen jedes der polyedrischen Perischeme vollständig be- 

 stimmt. Da aber jedes Vieleck zweien Polyedern gemein ist, so sind unter seinen 

 Winkeln die, welche die Dreizahl übersteigen, doppelt bestimmt. Beschreibt man jetzt 

 um irgend ein Eck des gegebenen Polyschems eine Tetrasphäre, so schneidet diese die 

 nötigenfalls verlängerten Räume der in jenem zusammentreffenden Polyeder in einem 



