- 1 Vi — 



wo )ii die Zahl der Soitoii eines Vielecks bezeichnet. Da J>„ — 6j -j-h., — ij = ist, so 

 kann man dieser Gleichung auch die Form 



y: (P, P', P", P-, P"\.. .) = £/, (pp\ p", p'", . . . Eck) ~ 8^, 



— 2 :?()« — 2)/(P, P' Vieleck) +4 (2;^ — 2 /;,) + 16 

 = 2 ^{m — 2) j 2 — ./• (P, P' Vielecioj 



- 2: { 8 - ./■, ( P P', P", P'", . . . Eck)} + 16 



geben, wo die erste Snmme sich auf alle Vielecke, die zweite auf alle Ecken des ge- 

 gebenen pentasphärischen Polyschems erstreckt. Diese Gleichung stimmt mit der zu 

 beweisenden (1) vollkommen überein. 



So wie nun die Formel für das Kugelvieleck den Euler'schen Satz a„ — i.t^ -fff.j =2 

 giebt, wenn man sie auf das durch l'rojektion eines Polyeders auf eine Kugelfläche ge- 

 bildete Netz anwendet, so führt auch die Formel (1) auf den Satz «„ — «, j-a, — «s+fli = 2, 

 wenn man sie auf das pentasphärische Netz anwendet, welches durch Projektion eines 

 linearen Polyschems der fünffachen Totalität entsteht. 



Das gegebene Polyschem (oo'') habe cIq Ecken, (l^ Kanten, a., Vielecke, a^ Po- 

 lyeder, «4 vierfache Polyscheme; 



irgend ein vierfaches Perischem desselben habe b^ Ecken, h^ Kanten, h., Vielecke, 

 li^ Polyeder; 



ein Polyeder desselben habe c„ Ecken, i\ Kanten, Cj Vielecke; in diesem grenzen 

 2 vierfaclie Perischeme zusammen; 



ein Vieleck habe d Ecken, also auch (/ Seiten; es sei gemein e Polyedern, also 

 auch e vierfachen Perischemen; 



eine Kante hat immer 2 Ecken; sie sei gemein yj, Vielecken, /', Polyedern, 

 yj, Perischemen; 



ein Eck sei gemein ^„ Kanten, //, Vielecken, [/., Polyedern, ^3 Perischemen. 



Dann ist 



2: b, ^ £//3, Zb^^E /,, Ul,^ 2:e, 2: &, = 2 a, 



Ec, = Eg.,, 2£c, - 2:/,, 2^ c, = .^ e, 



Zd -2r/,, 2-r/ = i:j„ 



2a, =2,/,,, 



b, - b, -\- b., - b, ^ 0, r„ - r, H- r., = 2, f„~J\hj: = 2, 



^ (/n — ffi ^ fh - f/s = <•• 



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